Дифференциальные уравнения внутренней энергии и энтальпии

Внутренняя энергия.Запишем дифференциальное уравнение внутренней энергии в виде . Выбирая в качестве независимых переменных x1=v и x2=T определим значения частных производных . В соответствии с отношениями и отношением Максвелла имеем . Из термодинамики идеальных газов известно, что есть истинная удельная теплоемкость при постоянном объеме Cv. Поэтому дифф уравнение внутренней энергии примет вид . Выразим связь u=u(T,p) в дифференциальной форме . Обозначим T=x1 и p=x2, и учитывая , получим . Производную можно представить как Первый множитель тут равен красному. Отсюда (по тройному произведению, где че-то там равно -1) получим . При подстановке синего и зеленого в черное_жирное.

Энтальпия.

В термодинамических расчетах широко используется калорический параметр– энтальпия.h=u+pv. Если принять за независимые переменные T и p, то . Из термодинамики идеальных газов известно, что есть Cp. Частную производную представим в виде . Подставив выражения найденных производных во второе уравнение получим .

Как функция T и v: имеем , в окончательном виде:

Как функция p и v: имеем , окончательно получим

Дифференциальные уравнения энтропии и теплоемкости

Энтропия. Получим дифференциальные соотношения для дельной энтропии. Пусть S=S(T,v), тогда . Величину производной можно вычислить используя математическое выражение второго закона термодинамики применительно к изохорному процессу: По соотношению максвелла отсюда .

Аналогично при независимых T и p. отсюда

Аналогично при независимых p и v: отсюда . Сравнивая данное уравнение с математическим выражением второго закона термодинамики ? приходим к одной из возможных форм записи дифференциального уравнения первого закона термодинамики.

Теплоемкость.

Как известно, теплоемкость играет существенную роль при выполнении многих теплотехнических расчетов. Особо важное значение имеют Cp и Cv, входящие в дифференциальные связи для u,h и S. Зависимости Cp и Cv от температуры находят экспериментально или рассчитывают на основе квантовой теории веществ. Зависимости от p и v можно установить с помощью дифференциальных термодинамических связей.

Продифференцировав по v: , используя получим . Проинтегрировав выражение, получим зависимость при неизменной температуре. это зависимость теплоемкости от температуры вещества в идеально газовом состоянии.

Для получения зависимости от давления: или . Проинтегрируем по p.

Аналогично и для теплоемкости Cp:Продифференцируем по p. . Подставляя вместо выражение получим после интегрирования . Если перепишем в виде Проинтегрировав найдем зависимость от v .

В экспериментальных исследованиях определение Cp проще и надежнее, поэтому необходимо помнить связи. - показатель Пуассона, или показатель адиабаты. Для газов K>1.

Потенциальные функции

При термодинамических расчетах и анализе широко используются потенциальные функции. Наибольшее значение в термодинамике имеют потенциалы: внутренняя энергия, энтальпия, а также энергия Гельмгольца, или изохорно-изотермический потенциал. F=u-TS и энергия Гиббса, или изобарно-изотермический потенциал Z=h-TS. Название потенциалов эти функции получили потому, что их производные по соответствующим независимым переменным дают значения параметров состояния системы. Частные производные легко воспроизводятся с помощью мнемонического квадрата Планка.

Термодинамический потенциал	Обозначение	Связь с внутренней энергией	Частные производные
Внутренняя энергия	u	u
Энергия Гельмгольца	F	u-TS
Энтальпия	h	u+pv
Энергия Гиббса	Z	u+pv-TS