Простой пример.

Пусть необходимо собрать узел из двух деталей А и В. Обе детали должны быть обработаны на токарном станке, деталь В должна быть еще и отшлифована. перечень работ и их продолжительность приведены в таблице.

Шифр работы	описание работы	Непосредственно предшествующие	Продолжительности работ
a	Начало		0
b	получить материал для детали А	a	10
c	получить материал для детали В	a	20
d	Обработать деталь А на токарном станке	b, c	30
e	Обработать деталь В на токарном станке	b, c	20
f	Шлифовать деталь В	e	40
g	Собрать узел из деталей А и В	d, f	20
h	Сдача-приемка	g	10

График этого проекта приведен на рисунке ниже.

Предположим, что срок Т завершения проекта задан заранее. Для того, чтобы быть выполнимым, срок Т должен быть, разумеется, больше или равен F , т.е. раннему сроку окончания проекта. Приняв далее, что T > F , можно сформулировать понятие позднего срока окончания LF проекта, т.е. наиболее позднего срока, в который работа может быть закончена, не задерживая окончания проекта в целом сверх запланированного срока. Подобным же образом поздний срок начала LS (L-Start) работы определяется как LS=Lf-t , где t - продолжительность работы. Эти значения вычисляются для каждой работы способом, аналогичным указанному выше, с той лишь разницей, что проект просматривается в обратном порядке - от «Конца» к «Началу».

Обозначения:

Наиболее поздние сроки начала и окончания работ

Алгоритм выглядит следующим образом:

1. указываем значение Т слева и справа от кружка, обозначающего последнюю работу или «Конец»;

2. выбираем любую такую работу, для которой еще не указаны сроки LS и LF, но все непосредственно следующие за ней работы эти сроки уже имеют; справа от кружка данной работы указывается наименьшее из чисел, стоящих слева от кружков работ, непосредственно за ней следующих;

3. вычитаем из этого числа продолжительность данной работы и итог указываем слева от ее кружка;

4. продолжаем эти операции до тех пор, пока не дойдем до кружка первой работы или «Начала».

По окончании вычислений справа от кружков, соответствующих каждой из работ, будут стоять поздние сроки окончания работ LF , а слева - поздние сроки начала работ - LS . Число, стоящее справа от кружка «Начало» , представляет собой наиболее поздний срок начала всего проекта в целом, обеспечивающий его завершение к запланированному сроку Т .

На рисунке приведены результаты этих вычислений на примере , взятом из таблицы. Здесь T=F=100 . Ранний (ES) и поздний (LS) сроки начала каждой работы указаны через точку с запятой слева от кружка, обозначающего работы, а ранний (EF) и поздний (LF) сроки ее выполнения - справа.

Понятие о резерве времени.

Изучение расписания работ показывает, что для одних работ ранний и поздний сроки начала их выполнения совпадают, а для других - нет. Разность между ранним и поздним сроками начала работы (или конца) называют полным резервом времени (TS) этой работы. Полный резерв времени характеризует собой максимальное время, на которое может быть задержано начало выполнения работ по сравнению с ранним сроком ее начала, без отсрочки выполнения всего проекта в целом.

Критическими выше были названы работы, принадлежащие самому длинному пути на графике проекта. Следовательно, критические работы оказывают непосредственное влияние на продолжительность осуществления проекта. Очевидно, что у критических работ резерв времени равен либо нулю, либо минимален, если T > F .

Когда у какой-либо работы полный резерв времени равен нулю, плановый срок начала ее выполнения устанавливается автоматически (ранний срок начала равен позднему сроку); задержка начала выполнения работы против этого расчетного срока ведет к задержке завершения всего проекта в целом. В то же время в отношении работ, имеющих резерв времени, составление расписания выполнения работ может быть выполнено свободно. Эта гибкость может быть с пользой применена для выравнивания во времени объемов выполняемых работ. Очевидно, что свободный резерв времени может быть эффективно использован на уровне оперативного руководства.

Вывод. Благодаря свои естественным свойствам - ясности и наглядности - метод критического пути является весьма удобным инструментом анализа и планирования выполнения сложных проектов.

Математические основы критического пути

Рассмотрим сначала математические аналоги только что описанных конструкций их отношения, которые помогут выполнять анализ конкретных проектов без обращения к графику и, к тому же, легко переносимые на компьютер.

Пусть J={a,b,c, … } будет множество работ, которые необходимо выполнить для осуществления проекта. Обозначим через << отношение между работами a и b , входящими в J , когда a<<b определено для некоторых пар работ a и b и которое читается «a непосредственно предшествует b» или что то же самое «b непосредственно следует за a» . Утверждение a<<b означает, что работа a должна быть выполнена или закончена раньше, чем b . Отсюда следует, что любая заданная работа может быть начата тогда и только тогда, когда все непосредственно предшествующие ей работы будут закончены. Проект определяется множеством J и отношением << .

Справедливо следующее утверждение.

Предложение 1. Отношение непосредственного предшествования иррефлексивно и k-интранзитивно при любом k , то есть

а) a<<a - ошибочно для любых работ из J (иррефлексивность).

б) Если a=a₁<<a₂<< … <<a_k=b , тогда a<<b ошибочно для любой пары работ a и b при любом k>2 (k-интранзитивность).

Определение. Множество работ P_a={b| b<<a} есть множество работ, непосредственно предшествующих работе a . Точно также множество S_a={b| a<<b} есть множество работ, непосредственно следующих за работой a .

График G проекта представляет собой плоский граф с точками на плоскости, обозначающими работы, и векторами-отрезками, соединяющими работы a и b в том и только в том случае, когда a<<b . Путь на графике G есть множество вершин Если a₁, a₂ , … ,a_n , для которых имеет место следующее отношение непосредственного предшествования:

a₁<<a₂<< … <<a_n .

Цикл в G есть замкнутый путь вида

a₁<<a₂<< … <<a_n=a₁ ,

График G проекта ацикличен в том и только в том случае, если он не содержит ни одного цикла.

Время выполнения работ, критические работы, критические пути

Понятно, что для выполнения каждой работы требуется время. Обозначим через t_a время, необходимое для выполнения работы a . Первая работа или «Начало» определяются как единственные предшествующие всем работам в J и, естественно, не имеющие предшествующих. Последняя работа или «Конец» это работы следующие за всеми работами в J и т.о. не имеющие последующих. Эти работы ограничивают по времени с двух концов график проекта.

Предположим теперь, что в ходе осуществления проекта каждая работа начинается сразу после того, как заканчивается выполнение всех непосредственно ей предшествующих работ. В этом случае для каждой работы, входящей в проект, можно рассчитать ранний срок начала ES и ранний срок окончания EF . Опишем алгоритм для вычисления ES(a) и EF(a) для каждой из работ в J .