28.Платіжна матриця. Основна теорема теорії ігор. Принцип мінімаксу.

Матриця А називається платіжною, а також матрицею гри. Елемент цієї матриці a_ij — це виграш гравця А, якщо він вибрав стратегію A_i, а гравець В — стратегію B_j.

Із багатьох критеріїв, які пропонуються теорією ігор для вибирання раціональних варіантів рішень, найпоширенішим є песимістичний критерій мінімаксу-максиміну. Суть цього критерію у наступному.

Нехай гравець А вибрав стратегію A_i, тоді у найгіршому разі він отримає виграш, що дорівнює min a_ij, тобто навіть тоді, якщо гравець В і знав би стратегію гравця А. Передбачаючи таку можливість, гравець А має вибрати таку стратегію, щоб максимізувати свій мінімальний виграш, тобто

Така стратегія гравця А позначається і має назву максимінної, а величина гарантованого виграшу цього гравця називається нижньою ціною гри.

Гравець В, який програє суми у розмірі елементів платіжної матриці, навпаки має вибрати стратегію, що мінімізує його максимально можливий програш за всіма варіантами дій гравця А. Стратегія гравця В позначається через і називається мінімакс­ною, а величина його програшу — верхньою ціною гри, тобто

Оптимальний розв’язок цієї задачі досягається тоді, коли жод­ній стороні невигідно змінювати вибрану стратегію, оскільки її супротивник може у відповідь вибрати іншу стратегію, яка забезпечить йому кращий результат.

Теорема (основна теорема теорії ігор). Кожна скінченна гра має, принаймні, один розв’язок, можливий в області змішаних стратегій.

Нехай маємо скінченну матричну гру з платіжною матрицею

Оптимальні змішані стратегії гравців А і В за теоремою визначають вектори і , що дають змогу отримати виграш:

.

Використання оптимальної змішаної стратегії гравцем А має забезпечувати виграш на рівні, не меншому, ніж ціна гри за умови вибору гравцем В будь-яких стратегій. Математично ця умова записується так:

З другого боку, використання оптимальної змішаної стратегії гравцем В має забезпечувати за будь-яких стратегій гравця А програш, що не перевищує ціну гри , тобто:

Ці співвідношення використовуються для знаходження розв’язку гри.

29.Побудова опорного плану задачі лінійного програмування, перехід до іншого опорного плану.

Розглянемо задачу лінійного програмування, записану в канонічній формі:

Не порушуючи загальності, допустимо, що система рівнянь містить перші m одиничних векторів.

— лінійно незалежні одиничні вектори m-вимірного простору, що утворюють одиничну матрицю і становлять базис цього простору. Тому в розкладі базисними змінними будуть , а інші змінні — вільні. Прирівняємо всі вільні змінні до нуля, тобто . Оскільки , а вектори — одиничні, то отримаємо один із розв’язків системи обмежень - допустимий план.

Такому плану відповідає розклад, де лінійно незалежні вектори і за властивістю 3 розв’язків задачі лінійного програмування план є кутовою точкою багатогранника розв’язків, а отже, може бути почат­ковим опорним планом.

Перехід. Розглянемо, як, виходячи з початкового опорного плану, перейти до наступного опорного плану, що відповідає ціле­спрямованому процесу перебору кутових точок багатогранника розв’язків.

Оскільки є базисом m-вимірного простору, то кожен з векторів співвідношення може бути розкладений за цими векторами базису, причому у єдиний спосіб. Розглянемо такий розклад для довільного небазисного вектора. Припустимо, що у виразі існує хоча б один додатний коефіцієнт. Введемо деяку поки що невідому величину , помножимо на неї обидві частини рівності і віднімемо результат з рівності. Вектор є планом задачі у тому разі, якщо його компоненти невід’ємні. Отже, узагальнюючи розглянутий процес, можемо висновувати: визначення нових опорних планів полягає у виборі вектора, який слід ввести в базис, і вектора, який необхідно вивести з базису. Така процедура відповідає переходу від одного базису до іншого за допомогою методу Жордана—Гаусса.