36. Симплексний метод із штучним базисом. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.

Якщо Задача подана в канонічному вигляді і система обмежень не містить одиничної матриці. Отримати одиничну матрицю можна, якщо до кожного рівняння в системі обмежень задачі додати одну змінну . Такі змінні називають штуч­ними. (Не обов’язково кількість введених штучних змінних має дорівнювати m. Їх необхідно вводити лише в ті рівняння системи обмежень, які не розв’язані відносно базисних змінних.) Допустимо, що система рівнянь не містить жодного одиничного вектора, тоді штучну змінну вводять у кожне рівняння.

У результаті додавання змінних у рівняння системи область допустимих розв’язків задачі розширилась. Задачу з системою обмежень називають розширеною, або М-задачею. Розв’язок розширеної задачі збігатиметься з розв’язком початкової лише за умови, що всі введені штучні змінні в оптимальному плані задачі будуть виведені з базису, тобто дорівнюватимуть нулеві. Тоді система обмежень набуде вигляду (не міститиме штучних змінних), а розв’язок розширеної задачі буде розв’язком і задачі.

Згідно з симплексним методом до базису вводять змінні, які покращують значення цільової функції. Для даної задачі на максимум вони мають його збільшувати. Отже, для того, щоб у результаті процедур симплексних перетворень виключалися з базису штучні змінні, потрібно ввести їх у цільову функцію з від’ємними коефіцієнтами. Взаємозв’язок між розв’язками початкової та розширеної задач лінійного програмування не є очевидним і визначається такою теоремою. Теорема 2.8. Якщо в оптимальному плані розширеної задачі штучні змінні , то план є оптимальним планом початкової задачі.

37.Сідлова точка та необхідні і достатні умови її існування. Теорема Куна-Таккера.

Для розроблення методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування важливе значення має поняття сідлової точки, а також визначення необхідних і достатніх умов існування сідлових точок функції

Функція Лагранжа для цієї задачі має вигляд:

= .

Точка називається сідловою точкою функції Лагранжа, якщо для всіх виконується співвідношення:

.

Сідлова точка функції виду за означенням задовольняє умову:

.

Необхідна умова існування сідлової точки:

.

Розглядаючи другу частину нерівності, за допомогою аналогічних міркувань встановлюємо необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці:

для тих індексів і, де ,

для тих індексів і, де ,

для тих індексів і, де має довільний знак.

Отже, справджується рівняння:

.

Теорема Куна—Таккера. Вектор Х^* є оптимальним розв’язком задачі (8.22)—(8.24) тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор , що при для всіх точка є сідловою точкою функції Лагранжа ,і функція мети для всіх угнута, а функції — опуклі.

38. Способи перевірки адекватності економіко-математичних моделей Важлива характеристика екон-матем моделі, виправд-я зусиль щодо її розбудови - адекватність. Досить поширені спроби оцінювати адекватність моделі об’єкта безвідносно до мети моделюв-я методологічно не виправдані: у подібному підході адекватність можлива лише для копії, а не для моделі. З боку заданої мети побудована модель адекватна об’єкту, якщо вона забезпечує досягн-я цієї мети. Проблема адекватності ускладнюються тим, що реальна мета (цілі) зазвичай не повністю визначена й однозначна, коригується в процесі розробки моделі, її апробації, а також у процесі використ-я. У таких випадках, типових для практики, доцільно оцінювати адекватність моделі не лише відносно мети власне моделюв-я, але більш широкої - дослідж-я в цілому, проблеми управл-я, в межах якої визначене завдання для моделюв-я. У такому трактув-і модель можна вважати адекватною загальній проблемі, якщо її виріш-ю сприяє використ-я моделі в будь-якому суттєвому ступені, і тим більш адекватною, чим вищий цей ступінь.