12.Етапи математичного моделювання.

1)Постанова задачі

2)Формалізація задачі(побудова математичної моделі

3)Визначення розвязку задачі

4) Порівняння результатів обчислень які отриманні на попередньому етапі з об’єктом або явищем (рельним), якщо розбіжність допустима то задача розв’язана якщо ні то потрібна повертатися до інших етапів.

3. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів.

За допомогою двоїстих оцінок можна визначити статус кожного ресурсу.

Ресурси, що використовуються для виробництва продукції, можна умовно поділити на дефіцитні та недефіцитні залежно від того, повне чи часткове їх використання передбачене оптимальним планом прямої задачі. Якщо деяке значення двоїстої оцінки у_і в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний і-й ресурс використовується у виробництві продукції не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка у_і > 0, то і-й ресурс використовується для оптимального плану виробництва продукції повністю і називається дефіцитним. Величина двоїстої оцінки показує, наскільки збільшиться значення цільової функції Z, якщо запас відповідного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю.

Статус ресурсів можна визначати трьома способами. Перший — підстановкою значень вектора Х* (оптимального плану виробництва) у систему обмежень прямої задачі. Якщо обмеження виконується як рівняння, то відповідний ресурс дефіцитний, у іншому разі — недефіцитний.

Другий спосіб — через додаткові змінні прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо більша від нуля — недефіцитний.

Третій спосіб — за допомогою двоїстих оцінок. Якщо у_і > 0, то зміна (збільшення або зменшення) обсягів і-го ресурсу приводить до відповідної зміни доходу підприємства, і тому такий ресурс є дефіцитним. Якщо ж у_і = 0, то і-й ресурс недефіцитний.

4. Властивості розв’язків задачі лінійного програмування. Геометрична інтерпретація задач лінійного програмування.

Властивості розв’язків задачі лінійного програмування формулюються у вигляді чотирьох теорем: 1. Множина всіх планів задачі лінійного програмування опукла. 2.  Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин її багатогранника розв’яз­ків. Якщо ж цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього багатогранника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.  3. Якщо відомо, що система векторів A₁, A₂, …, A_k (k ≤ n) у розкладі A₁x₁ +A₂x₂ + … + A_nx_n = A₀, X ≥ 0 лінійно незалежна і така, що A₁x₁ + A₂x₂ + … + A_kx_k = A₀, де всі x_j ≥ 0, то точка X = (x₁, x₂, …, x_k, 0, …, 0) є кутовою точкою багатогранника розв’язків. 4. Якщо X = (x₁, x₂, …, x_n) — кутова точка багатогранника розв’язків, то вектори в розкладі A₁x₁ + + A₂x₂ + … + A_nx_n = A₀, X ≥ 0, що відповідають додатним x_j, є лінійно незалежними. Остання властивість має два наслідки: Наслідок 1. Оскільки вектори мають розмірність m, то кутова точка багатокутника розв’язків має не більше, ніж m додатних компонентів .

Наслідок 2. Кожній кутовій точці багатокутника розв’язків відповідає лінійно незалежних векторів системи .

З наведених властивостей можна висновувати: якщо функціонал задачі лінійного програмування обмежений на багатограннику розв’язків, то:

1. існує така кутова точка багатогранника розв’язків, в якій лінійний функціонал досягає свого оптимального значення;

2. кожний опорний план відповідає кутовій точці багатогранника розв’язків.

Тому для розв’язання задачі лінійного програмування необхідно досліджувати лише кутові точки багатогранника (опорні плани), не включаючи до розгляду внутрішні точки множини допустимих планів.