7. Бинарные отношения

Под упорядоченной парой понимают совокупность двух элементов, расположенных в определенном порядке. Обозначают (а, b).

Две пары называют равными тогда и только тогда, когда а=с, b=а.

Декартовым произведением двух множеств А и В называют множество А*В, состоящие из тех пар а и b, в которых а Є А и b Є В.

Обобщением понятия упорядоченной пары является порядок упорядоченной N-ки – совокупность n элементов, расположенных в определенном порядке. Две N-ки равны между собой .

Прямым произведением множеств А1,А2…Аn называют произведение А1*А2*… Аn, состоящие из определенных наборов

А *А*…А = Аⁿ

n раз

Пусть А и В – два различных множества.

А*В – бинарное отношении между элементами множеств А и В.

Бинарное отношение между элементами множеств А и А называется бинарным отношением на множестве А. Обозначается ρ ᴄ А*В.

Если (а,b)Єρ, то говорят, что а и b связаны отношением ρ. Обозначается аρ b.

Областью определения бинарного отношения ρ называется D(ρ), состоящие из первых пар бинарного отношения.

Множеством значений бинарного отношения ρ называют множество вторых элементов пар бинарного отношения ρ.

В случае, когда ρ – бинарное отношение между числовыми множествами – его элементы изображают точкой на координатной плоскости. Полученное множество точек является графиком бинарного отношения.

. Виды бинарных отношений. Отношение эквивалентности. Фактор-множество. Разбиение множества.

Виды бинарных отношений:

Бинарное отношение ρ на множестве А называют рефлексивным, если а Є А, а ρ а→(а,а) Є ρ.

Бинарное отношение ρ на множестве А называют антирефлексивным, если а Є А, а ρ а.

Бинарное отношение ρ на множестве А называют симметричным, если а₁b Є А, а ρ b→b ρ а.

Бинарное отношение ρ на множестве А называют антисимметричным, если а₁b Є А, а ρ b b ρ а→а= b.

Бинарное отношение ρ на множестве А называют связанным, если

а,b Є А а= b→ а ρ b v b ρ а.

Бинарное отношение ρ на множестве А называют пронзитивным, если

а,b,с Є А а ρ b ᴧ b ρ а→а ρ с

Отношение эквивалентности

Бинарное отношение называют отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Классом эквивалентности элемента А называют множества Ка={хЄА|х~а}

Ка= (т.к.отношение ~→ ~рефлексивно)

Фактор-множество

R/ρ={{-а,а}|аЄR}

Разбиением множества А называют совокупность непустых, попарно не пересекающихся подмножеств множества А1, объединение которое есть А.

А={1,2,3,4,5} {{1,2}, {3},{4,5}} – разбиение А

10. Метод математической индукции

Основная формула метода математической индукции:

Если предложение Р(n) зависящее от натуральной переменной n истинно при n=1 (т.е. Р(1)≡1) и из истинности этого предложения для любого, но фиксированного натурального числа k→истинность этого предложения и для (k+1), то предложение Р(n) истинно для любого натурального n.

Таким образом, что бы доказать истинность Р(n) для любого натурального n методом математической индукции надо:

1. Доказать Р(n)≡1

2. Предположить, что Р(k)≡1 и доказать Р(k+1)≡1

Иногда Р(n) неопределенно или ложно при n=1. В этом случае пользуются теоремой 2:

Если Р(n) , зависящее от натуральной переменной n истинно при n=2 или n= n₀ и из истинности этого предложения для любого, но фиксированного k(k≥2, k≥ n₀)→ истинность Р(n) для k+1, то Р(n)≡1 для любого натурального n≥2(n≥n₀)

Пример:

Доказать, что при любом nϵ N, число аn + n³+3 n²+5*1³ :3

1. Проверим, что а₁:3

1³+3*1³+5*1³=9

9:3≡1

2. Предположим, что а_k :3

а _k= k³+3 k³+5 k делится на 3

Докажем, что а _k+1:3

а _k+1= (k+1)³+3(k+1)²+5(k+1)=а_k+3(k²+3k+3)

Ответ: доказано по принципу математической индукции.