4. Предикаты. Кванторы

Предиката – предложение с переменными, которое становятся высказыванием при подстановке вместо переменных значений.

Кванторы – выражения для всех Х называется квантором всеобщности по переменной Х.

Выражение «существует единственный Х, такой что» называется квантором существования и единственности по переменной Х и обозначается Ǝ! Х.

Выражение «существует Х, такой что» называется квантором существования по переменной Х и обозначается Ǝ Х.

Преписывание перед высказывание квантора называется навешивание квантора.

Если переставить одноименные кванторы стоящие рядом, то получим равносильное высказывание. Если же одноименные кванторы не стоящие рядом или не одноименные, то значение истинности высказывания может измениться.

5. Множества. Способы задания множеств. Равное множество.

Понятие множество является первоначальным понятием математики, поэтому оно неопределенно. Интуитивно, под множеством понимают совокупность объектов природы, рассматриваемых как единое целое. При этом считают что множество состоит из разных объектов. Объекты из которых состоят множества называют элементами множества.

Множества делят на конечные и бесконечные. Конечные – множества, количество элементов в которых конечно. Множества, не содержащие н одного элемента называются пустыми и обозначаются

Способы задания множеств

1. Путем перечисления элементов (только для конечных)

А = {1,2,3}

2. С помощью характеристики свойств (универсальный)

А = {х|Р(х)}

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. каждый элемент множества А является элементом множества В, и наоборот.

Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

А ᴄ В – А содержится в В

В ↄ А – В содержит А

Пустое множество содержится в любом множестве.

А=В→ А ᴄ В ᴧ В ᴄ А – критерий равенства множества.

6. Действия над множествами

1) Объединением множеств А и В называют множество, состоящие из тех элементов, которые принадлежат А или В.

АvВ = {х|хЄА v х Є В}

2) Пересечением множеств А и В называют множество, состоящие их тех элементов, которые принадлежат А и В одновременно.

АΛВ = {х|хЄА Λ х Є В}

Понятие пересечение и объединение распространяются на любое количество множеств.

3) Разностью А и В называют множество, состоящие из тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В.

А\В = {х|хЄА Λ х Є В}

ВᴄА→А\В – дополнение В до А

Часто множества рассматривают как подмножества U, которое называют универсальным. А – дополнение А до U (универсального).

Свойства действий над множествами

1. А v В = В v А

2. (А v В)v С=А v (В v С)

3. А v А =А

4. А v А=U

5. А v = А

6. А v В=А Λ В

7. А v (В Λ С)=(А v В) Λ (А v С)

1. А Λ В = В Λ А

2. (А Λ В) Λ С=А Λ (В Λ С)

3. А Λ А=А

4. А Λ А =

5. А Λ U = А

6. А Λ В = А v В

7. А Λ (В v С)=(А ΛВ) v (А Λ С)