1. Высказывания и логические операции над ними

Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно либо ложно. Обозначаются большими латинскими буквами. Присваиваются значения 1(истина) и 0 (ложь).

Элементарные высказывания – высказывание, которые воспринимаются как единое целое, не разложимое на части.

Из элементарных высказываний с помощью логических операций «и», «или», «не», «если…то, «тогда и только тогда» образуют сложные и составные высказывания.

«И» - конъюнкция – истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истины.

А	В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

«Или» - дизъюнкция – истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно.

А	В
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

«Не» - отрицание

А	В
1	0
0	1

«Если…то» - импликация

А	В
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

«Тогда и только тогда» - эквиваленция – истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания принимают одинаковое значение истинности.

А	В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

3. Необходимые и достаточные условия. Метод доказательства от противного.

Часто математические утверждения формулируют в виде импликаций А→ В.

Если импликацией выражается теорема, то А – условие, В – заключение теоремы.

1. А→В – прямая импликация

2. В→А – обратное предложение для (1)

1. и (2) – взаимно обратные предложения

3. А →В – противоположное предложение для (1)

1. И (3) – взаимно противоположные предложения

4. В→А - контрапозитивное предложение для (1)

1. И (4) – контрапозитивные предложения

Если истина (1), то истинно и (4).

Если А→В ≡ 1, то условие В – необходимое, а условие А – достаточное для В.

Если истины обе импликации (1) и (2), то каждое из условий А и В необходимо и достаточно для другого.

В математике необходимое и достаточное условие называют критерии.

Достаточное условие - признак. Необходимое условие – свойство признака.

Пусть истины обе импликации А→В и В→А. Тогда истинно (А→В)ᴧ(В→А)≡1, а значит истина эквиваленция.

Таким образом что бы доказать теорему А↔В доказывают:

1. Необходимость В для А (теорему А→В)

2. Достаточность В для А (теорему В→А)

Пусть следует доказать теорему А→В доказательства от противного.

1. Предполагают, что при истинном А В – ложно (т.е. В истина)

2. Путем рассуждений доказывают, что В→А, или В→С, где С≡1 (С – теорема доказанная ранее или аксиома)

В→А≡1

1 1