18. Аппроксимация и интерполяция данных, основные определения

Аппроксимация – это замена исходной функции f(x) функцией q(x) так, чтобы отношение f(x) от q(x), в заданной области было минимально. Функция q(x) называется аппроксимирующая.

Интерполяция – замена исходной f(x) на q(x), так чтобы q(x) точно проходила через точки f(x)

Экстраполяция – получение аппроксимирующей или интерполирующей ф-ии вне заданной области исходной ф-ии.

19. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов заключается в том, чтобы найти такую функцию, чтобы сумма квадратов отклонения этой функции была минимальной в отличие от исходной функции.

20. Постановка задачи и обзор численных методов решения ОДУ и систем ОДУ

21. Метод Рунге-Кутта для решения ОДУ и систем ОДУ

29. Стандартные функции для решения ОДУ в Mathcad

Диф. Уры имеют порядок равный старшей производной в этом уравнении. В общем случае диф.ур имеет множество решении, для того, чтобы выделить одно из них нужны доп.условия. Такими условиями являются начальные условия – это требование, чтобы решение в заданной точке принимало заданное значение.

Для решения диф.ур. и систем диф.ур. существует ряд методов: аналитические и приближенные.

Аналитические методы позволяют получить ф-ю решения в явном виде.

Приближенные методы получают результат в численном виде с заданной точностью. К ним относятся: метод последовательных приближений, конечно-разностные методы, методы Рунге-Кутта.

Для решения диф.ур. с начальными условиями система Маткад имеет ряд встроенных функций:

Rkfixed – ф-я для решения д.у. и система д.у. методом Рунге-Кутаа четвертого порядка с постоянным шагм;

Rkfixed(y,x1,x2,p,D)

у-вектор начальных условия из к элементов

х1 и х2 – левая и правая границы интервала на котором ищется решение

р – число точек внутри интервала

D –вектор, состоящий из к элементов, который содержит первую производную искомой функции.

Результатом работы является матрица из p+1 строк, первый столбец который содержит точки в которых получено решение, а остальные – сами решения.

Rkadapt – ф-я решения д.у. и систем д.у. методом Рунге-Кутта с переменным шагом;

Odesolve – ф-я, решающая д.у. блочным методом.

Odesolve(y,x,n), n – правая граница интервала, на котором ищется решение, x- переменная, y –вектор. Результат работы – ф-я.

22. Решение алгебраических уравнений в MathCad

23. Решение полиномиальных уравнений в MathCad

Для алгебраических уравнений вида f(x)=0 решение в MathCad находится с помощью функции root.

Общий вид функции следующий:

root ( f(х), х),

f(х) – функция, описывающая левую часть выражения вида f(x)=0,

х – имя переменной, относительно которой решается уравнение.

Функция root реализует алгоритм поиска корня численным методом и требует предварительного задания начального приближения искомой переменной х. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Функция позволяет найти как вещественные корни, так и комплексные. В случае комплексного корня начальное приближение нужно задать в виде комплексного числа.

Для нахождения корней полиномиального уравнения вида

используется функция polyroots.

В отличие от функции root, polyroots не требует начального приближения и вычисляет сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Общий вид функции:

polyroots(v),

v – вектор коэффициентов полинома длины n+1, n – степень полинома.

Вектор v формируется следующим образом: в первый его элемент заносится значение коэффициента полинома при х⁰, т.е. v₀, во второй элемент - значение коэффициента полинома при х¹, т.е. v₁ и т.д. Таким образом, вектор заполняется коэффициентами перед степенями полинома справа налево.