- •1. Алгоритм и его свойства (рассмотреть алгоритм умножения).
- •2. Языки программирования.
- •3. Разветвляющиеся алгоритмы. Алгоритм вычисления арксинуса - агсsin х.
- •4. Программа вычисления арксинуса - Агcsin.
- •5. Программа расчета машинного "эпсилона" - Ерsilon.
- •6. Циклические алгоритмы. Программа вычисления конечного произведения (степени числа а).
- •7. Циклические алгоритмы. Алгоритм вычисления бесконечного произведения.
- •8. Циклические алгоритмы. Программа вычисления бесконечного произведения.
- •9. Программа вычисления гипотенуз с использованием функции Роwer.
- •10. Процедура РrintLine и ее использование в программах.
- •11. Процедура МахМin и ее вызов с различными параметрами.
- •12. Процедура сортировки одномерного массива.
- •13. Задача поиска корней уравнения. Метод половинного деления.
- •14. Алгоритм метода половинного деления.
- •15. Метод простой итерации для поиска корней. Геометрическая интерпретация.
- •16. Приведение уравнения к виду, пригодному для применения метода итераций.
- •17. Общая оценка погрешности приближения к корню.
- •23. Оценка погрешности приближения в методе простой итерации.
- •24. Метод Ньютона и оценка погрешности приближения
- •25. Модификации метода Ньютона и оценка погрешности приближения.
- •26. Метoд хорд и оценка погрешности приближения.
- •1.6. Метод хорд
- •27. Понятие нормы. Нормы векторов в конечномерном пространстве
- •28. Нормы матриц. Согласованность и подчиненность норм.
- •29. Обусловленность систем уравнений. Коэффициент обусловленности.
- •Таким образом
- •30. Свойства коэффициента обусловленности
- •31. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
- •32. Алгоритм метода Гаусса.
- •33. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •34. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом прогонки.
- •35. Алгоритм метода прогонки.
- •36, Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •37. Сходимость последовательности векторов и матричной прогрессии.
- •38. Сходимость метода простой итерации для решения систем линейных уравнений
- •39. Оценки погрешности метода простой итерации для решения систем уравнений.
- •40. Метод Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •41. Алгоритм метода Зейделя.
- •Xnew←t*pi
- •XI← xnew
- •42. Метод последовательной верхней релаксации.
- •43. Постановка и решение задачи интерполирования функции.
- •44. Алгебраическое интерполирование.
- •45. Интерполяционный полином в форме Лагранжа.
35. Алгоритм метода прогонки.
36, Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Как уже было сказано, в итерационных методах определяется не само решение задачи Ax=b, а некоторая последовательность векторов x(k) (k - номер итерации), такая, что она стремится к ветору решения при k. Чтобы построить такую последовательность, надо прежде всего исходную систему Ax=b преобразовать к виду
x=Bx+f. (12)
Сделать это можно различными способами. Самый простой и распространенный – это выражение каждого диагонального неизвестного из соответствующего по номеру уравнения системы:
т.е. преобразованные матрица B и вектор f имеют вид
, f= .
Задаваясь начальным приближением – вектором x(0)=(x1(0), x1(0),…., x1(0),), получаем
(13)
Такая формула вычисления приближений определяет метод простой итерации – МПИ. Основной вопрос – будет ли последовательность векторов x(k) сходится к решению системы линейных уравнений.
37. Сходимость последовательности векторов и матричной прогрессии.
38. Сходимость метода простой итерации для решения систем линейных уравнений
Сходимость последовательности векторов x(0), x(1),…., x(k),…, определяют двумя способами: по компонентам и по норме.
Определение 1. Вектор x=(x1, x2,…., xn,) называется пределом этой последовательности векторов, если существует каждый из n числовых пределов
Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по компонентам.
Определение 2. Последовательность векторов сходится к вектору x по норме, если .
Сходимость по норме более общая, так как не зависит от того, будет ли векторное пространство конечной или бесконечной размерности. Если размерность имеет конечное значение n, то сходимость по норме и сходимость по компонентам равносильны (т.е. из одной следует другая). Сходимость по норме во многих случаях более удобна, чем сходимость по компонентам.
Все эти рассуждения распространяются и на последовательность матриц B(0), B(1), …, B(k), …, однако здесь нас будет интересовать последовательность степеней матриц E, B, B2, …, Bk, …, называемая матричной геометрической прогрессией.
Лемма 1(лемма Неймана). Условие, что все собственные числа матрицы B по модулю меньше единицы, является необходимым и достаточным для того, чтобы 1) Bk при k;
2) матрица E-B имела обратную и E + B + B2 + … +Bk + …= (E-B)-1. Лемма 2. Если норма Bq<1 то матрица E–B имеет обратную (E–B)-1= E + B + B2 + … +Bk + …, причем .
Доказательство: Обозначим матрицу, которая представляет сумму ряда степеней матрицы B за V:
.
Пронормируем это выражение и воспользуемся свойствами нормы:
Так как
(E-B)V=(E + B + B2 + … + Bk + …) - (B + B2 + … + Bk+1 + …) = E,
то V=(E-B)-1, и следовательно
.
Лемма 2 доказана.
Теорема 1 (о сходимости МПИ). Необходимым и достаточным условием сходимости МПИ при любом начальном векторе x(0) к решению x* СЛАУ x=Bx+f является требование, чтобы все собственные значения матрицы B по модулю были меньше единицы.
Докажем только достаточность.
Пусть собственные значения матрицы B по модулю были меньше единицы
maxi(B)<1, i=1,2,…, n. По лемме 1 имеем Bk при k, а также
E + B + B2 + … + Bk + …= (E+B)-1.
Применяя последовательно формулу МПИ для вычисления приближений:
x(1)=Bx(0)+f,
x(2)=Bx(1)+f=B(Bx(0)+f)+f=B2x(0)+(E+B)f,
. . . . . . . . . .
x(k+1)=Bk+1x(0) + (E + B + B2 + … + Bk)f.
0 ( )
Правая часть последнего выражения при любом x(0) и равна (E-B)-1f, т.е. в пределе .
Представим исходную систему x=Bx+f в виде (E-B)x=f и подставим x*:
(E-B)(E-B)-1f=f.
Получается, что x* действительно является решением системы уравнений.
Достаточность доказана.
Вспоминая соотношение между собственными значениями и нормами матриц, можно сформулировать достаточный признак устойчивости:
Для сходимости МПИ достаточно, чтобы какая-либо норма матрицы B была меньше единицы.
Некоторые квадратные матрицы обладают свойством, называемым диагональным преобладанием. Это означает, что диагональные элементы по модулю больше суммы модулей всех остальных элемнтов в данной строке:
. (14)
Для изложенного способа преобразования системы к итерационному виду справедливо утверждение: в случае диагонального преобладания в исходной матрице A метод простой итерации сходится.