19.Функция распределения св и её св-ва

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F_X(x)= P{X<x}, xR

Под {X<x}понимается событие, состоящее в том, что случайная величина Х принимает значение меньшее, чем число х. Если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F(x)  F_X(x).

Как числовая функция от числового аргумента х, функция распределения F(x) произвольной случайной величины Х обладает следующими свойствами:

1)для любого xR: 0 F(x)  1

2) F(-) = lim_x F(x) = 0 ; F(+) = lim_x F(x) = 1;

3) F(x)-неубывающая функция, т.е.для любых α,βтаких, что α< β :F(β) - F(α);

4)непрерывна слева

20. Ф-ия распред.ДСВ

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Пусть ДСВ задана табл. распред-ем,

тогда ее ф-ция распределения:

y=F(x)=P(X<x)=P(X=x₁)+…P(X=x_n)=p₁+…+p_n

где x₁<x₂<…<x_n<x

_n

F(x)=∑p_i => p_k=F(x_k+1)-F(x_k)-ф-ция распред-я однозначно определяет з-н распред-я ДСВ.

ⁱ⁼¹

Графиком ф-ции распред-я д/ДСВ явл-ся кусочно-постоянная ф-ция.

Св-ва ф-ции распред-я:

1.) монотонно не убывает;

2.) непрерывна слева;

3.) limF(x)=0, limF(x)=1

x→-∞ x→+∞

21.Функция распределения нсв.Пл-ть распред.И её св-ва

Судить о хар-ре распр-ия в небольшой окрестности точек числ. оси позвол-т плотность распределения вер-ей. Рассм-м НСВ Х с интегр.непр-но диф-ой ф-ией распр-ия F(x).

Вер-ть попад-ия этой вел-ны в интервал (х,х+∆х) равна Р(х<X<x+∆x)=F(x+∆x)-F(x).

Вер-сть, к-рая находится на ед-цу длины рассмарт-го интервала: (Р(х<X<x+∆x))/∆x=(F(x+∆x)-F(x))/∆x.

Если мы перейдем к пределам, то получим вер-ть, кот. прих-ся на изолиров-ую точку Х: Пл-тью распр-ия вер-тей (диф.фун-ей распр-ия) наз-ся первая производная интегр. ф-ции распр-ния F(x):

f(x)=F’(x).

График ПР вер-тей – кривой распр-ия CВ Х.

Cв-ва ПР:

1.f(x)≥0 для люб.x – cв-во неотриц-ти.

3. -

Cв-во нормировки.

22.Математ.Ожидание дискретной и непрер.Св,его св-ва и геом.См-л

Мат. ожид-ем СВ Х наз. ∑ по всем исходам знач-й СВ Х, умн-х на их вер-ти:

M(Х)=∑ Х(ω)∙p(ω). В случае непр-й СВ ∑ замен-ся ее обобщением

Мат. ож-м ДСВ Х, заданной рядом распред-я в общем виде (х₁...х_n)/(p₁…p_n) наз. число

М.О. НСВ с плотн-ю распр-я f(х) наз. число

Геометрический смысл М.О.: М(Х) – это абсц-са центра тяжести криволин-й трап-и, огран-ной граф-м кр. распр-я (полигоном распр-я для ДСВ) и осью ОХ.

Св-ва М.О.:

1. Если Х=С=const - СВ, приним-я пост-е знач-е С, то М(С)=С

2. М(С∙Х)= С∙М(Х), С - const

3.М(Х У)=М(Х) М(У), Х, У

4. М(Х∙У)=М(Х) ∙ М(У) – незав-е СВ

5. М(Х-М(Х))=0, где М(Х) – число при люб. Х

СВ Х - М(Х) наз. отклонением СВ Х от ее М.О.

Разность х-М(Х) показ,на ск-ко отклонилось значение х СВ в данном исп-ии от матожид. СВ Х-М(Х)—отклонение СВ Х от её М.О. или центрированная СВ

23.Дисперсия св и её св-ва.Ср кВ.Откл.

На практике встречаются СВ, имеющие одинак-е мат.ожидания. У одних из этих СВ откл-е от мат.ожидания – невелико, а у др. – значительнее. Для оценки меры рассеивания СВ Х около ее мат.ожидания М(Х) водят понятие дисперсии.

Дисперсией СВ Х наз-ся величина D(X)=M(X-M(X))²

Ср.квадратич. отклонением СВ Х наз-ся величина σ (Х)= D(X)^1/2

Св-ва дисперсии:

1. D(X±Y)=D(X)+D(Y) – независимые СВ X,Y

2. Если X=C – СВ, принимающая постоянные значения, то D(C)=0

D(C)=M(C-M(C))²=M(C-C)²=M(0)=0

3. D(C*X)=C²*D(X)

4. D(X)=M(X²)-M²(X)

5. D(X-M(X))=D(X)