9.Теорема умножения для произвольного числа событий. Независ. Соб-ия и их св-ва

Вероятность наступления n событий А1,А2,Аn=произведению вертностей одного из них на условную вероятность каждого последующего события, вычисленного в предположении, что все предыдущие события уже наступили:

P(A1,A2…An)=P(A1)*P(A2/A1)*P(A3/A1*A2)*…P(An/A1*A2*…*A_n-1)

События А и В независимы тогда и только тогда, когда вероятность события AB ровна произведению вероятностей событий А и В. Р(АВ)=Р(А)*Р(В) Р(А/В)=Р(А).Опр. n-событий А1,А2...Аn наз-ся независ.,если Р(А1А2...Аn)=Р(А1)*Р(А2)*...*Р(Аn)

свойства независимых событий:1.если соб.-ия А и В нез.-ы, то А и (и наоборот) независимы.

2.если соб.-ия А и В нез.-ы, то и независимы.

10.Полная группа попарно несовместных соб-ий.Ф-ла полн.Вер-ти

Систему событий А₁, А₂, ...,A_N называют конечным разбиением (или просто разбиением), если они попарно несовместны, а их сумма образует полное пространство событий: А₁ + А₂ + ... + А_N = 

Если события А_i образуют разбиение пространства событий и все P(A_i) > 0, то для любого события В имеет место формула полной вероятности: P(B) = P(A_k)P(B/A_k)=Р(А1)Р(В/А1)+Р(А2)Р(В/А2)...

что непосредственно следует из (8.2.14) для попарно несовместных событий:

B = B = BA₁+BA₂+...BA_N.

P(B) = P(BA₁)+P(BA₂)+... +P(BA_N) = P(A₁)P(B/A₁)+P(A₂)P(B/A₂)+...+P(A_N)P(B/A_N).

11. Формула Байеса

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез.

Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса

12.Повторные незав.Испыт-ия .Ф-ла Бернулли.Наивероятнейшее число успехов

Пусть проводится n независимых испытаний, в результате каждого из к-ых возможны 2 исхода: может произойти событие А(успех) с вер-тью р или не произойти событие А с вер-тью q = 1-p. Пусть X – число успехов в n испытаниях, тогда справедлива ф-ла Бернулли: Р(Х=m) = Р_n(m) = C^m_nР^mQ^n-m

Док-во: Пусть проведено n независимых испытаний, в рез-те к-ых событие А произошло m раз (не важно в каком порядке). Это означ-т, что произошло событие С = { А произошло m раз, Ă произошло n-m раз}. Т.к. все n события независимы, то вер-ть события С Р(С) = Р^m Q^n-m. Однако событ. А может появиться в n опытах и совершенно др. послед-ти и число таких послед-ей = C^m_n.ВсеC^m_nвариантов появления событ. А m раз предст-т собой несовместн. событие с вер-ми Р^m * Q^{n-m, поэтому справедлива ф-ла Бернулли.}

Наиболее вероятное число успехов в схеме испытаний Бернулли удовл-т нер-ву:

^{(n+1)p-1 ≤ m ≤ (n+1)p}

13.Локальная пред.Т Муавра Лапласа

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна p (p0, p1), а число испытаний достаточно велико, то справедлива формула:

(2)

, где - функция Гаусса

Замечание: формула 2 исп, когда n30, λ=np>10

14.Редкие события.Т.Пуассона

Ф-ла P_n(m)=(1/√npq)φ((m-np)/√npq) (2)

позволяет получать тем более близкие к точному значения P_n(m) результаты, чем больше знач. корня √npq и чем ближе знач . p и q к ½.

Если в-сть успеха р по отдельным испытаниям близка к 0 (такие события наз. редкими), то даже при большом n, но малом np (λ =np<10) в-сти, полученные по ф-ле (2) недостаточно близки к их истинным знач. В этом случае прим. другую асимптотическую ф-лу – ф-лу Пуассона.

Теорема: Если в-сть наступления события А в каждом из независимых испытаний постоянна, но близка к 0, а np=λ<10, то

P_n(m)≈λ^m(e^-λ/m!) (4)

Замечание: ф-лу Пуассона исп., когда n≥30 (n≥100), а np≤10.