5.Действия над событиями. Диаграммы Венна

Пусть некоторому опыту G соот-т простр-во элем-ых событий Ω, кот. изображ-ся в виде квадрата един-й площади. Вводимые далее действия над событиями м/представить также как операции над множ-ми и проиллюстр-ть с помощью диаграмм Венна.

Будем говорить, что соб. А влечет за собой соб.В, если из наступления А следует наступление В.( ; )

Суммой(объединением) соб.А и В наз. такое соб. С, кот. происходит т. и т.т., когда происх-т по крайне мере 1 из соб-й А и В.( )

Разностью соб. А и В наз. соб. С, кот. происходит т. и т.т., когда А происх-т, а В не происх-т.(С=А-В; С=А\В)

Произведением(пересечением) соб.А и В наз. С, кот. происходит т. и т.т., когда происходит А и В. (С=А*В; С=А∩В)

Соб. А и В наз. несовместными (не пересекающимися), если они не м/произойти одновременно, т.е. А*В=ǿ

Соб. В наз. противоположным к соб.А (дополнительным к А)[В= Ă], если оно происходит т. и т.т., когда А не происходит.(В=Ă)В рез-те опыта G 1 из 2-х соб-й А и Ă обязательно произойдет и эти события не совместны.( А+Ă= Ω; А*Ă= ǿ)

Говорят, что соб-я образуют полную группу(попарно несовместных) событий если: а)в рез-те G одно из них обязательно произойдет ; б) любые 2 из них не м/произойти одновр-но( ǿ)

6.Теорема сложения вероятностей.Вероятность разности 2х событий

Пусть нек-ому опыту G соотв-т простр-во элемент-ых соб. Ω; , кот-ое будем изобр-ть в виде квадрата единичной площади. P(A)=S(A).

1.Теорема сложения вер-ей

Вер-ть суммы 2-х соб. равна сумме вер-ей этих соб-ий без вер-ти их произведения.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Следствие:

1)для несовместных событий: P(A+B)=P(A)+P(B);

2)для полной группы соб. H1,+,Hn: P(H1+…+Hn)=P(Ω)=1

3)сумма вер-ей противополож. соб. Равна 1: P(A)+P(Ă)=1; P(A)=1-P(Ă)

2.Вероятность разности 2-х соб. P(A-B)=P(A)-P(AB)

7.Вероят-ть противоп.Соб-ия.Связь м/у вер-тями событий из полной группы

Г оворят,что события H₁,H₂,…,H_n обр-т полную группу соб-ий,если эти соб-ия попарно несовместны,а их сумма явл-ся достоверн. соб-ием,т.е. H_i*H_j=ǿ при i не= j и H₁+H₂+…+H_n= Ω

Простейшим примером такой группы событий явл. Произвольное событие А и его дополнение Ă .По т. сложения вер-тей,для полной группы соб-ий справедливо рав-во Р(H₁)+Р(H₂)+…+Р(H_n)=1 Полную группу соб-ий м представить диаграммой

Пусть проводится n-независ. Испытаний в рез-те кажд.из кот, возм. 2 исхода.Мпроизойти соб-ие А-успех с вер-тью р,или не произойти (Ă)-неуспех с вер-тью q.Тогда,т.к. из следствия т.сложения вер-тей имеем:р+q=1 =>q=1-р

8.Усл.вер-ть.Теорема умножения вер-тей

1) Условная вероятность события А при условии В равна Р(А/B)=P(A*B)/P(B), Р(В)>0. 2) Событие А не зависит от события В, если Р(А/B)=P(A). Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то событие В не зависит от А. В самом деле при Р(А)>0 имеем Р(B/A)=P(A*B)/P(A)=P(A/B)*P(B)/P(A)=P(A)*P(B)/P(A)=P(B). Вытекает следующая формула умножения вероятностей: Р(В*А)=Р(А)*Р(В/A). Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В). 3) События А1,А2,…,Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие, т.е. Аi*Aj=0, i не=j, U по i от 1 до n Аi=омега. Если Р_В(А)=Р(А),то соб-ия наз-ся нез-мыми.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В). В частности для независимых событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В), т.е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.