Элементы комбидаторики(размещение,перестановки,сочетания)
Пусть А={а1,а2,...аn } мн-во из n-эл-ов тогда:
Размещением
из n по k
наз-ся любой упорядоченный набор из
k-эл-ов мн-ва А.Всего таких
наборов
.
n!= 1*2*3*..*n ; 0!=1
Размещение из n-эл-ов по
n наз-ся перестановкой.
Всего таких перестановок: Рn=n!.Сочетанием
из n-эл-ов по k
наз-ся любой неупорядочен.набор из
n-эл-ов мн-ва А .Всего таких
наборов
Случайные события. Вер-ть:статист. Опред.
Опыт - осущ-ие заданного комплекса условий (G). Исход испытания - событие (А, В, С). События бывают детерминированные (подчинены жесткой связи причина-следствие) и недетерминированные.
Случайное событие – это событие, которое м/произойти и не произойти в результате опыта G. Пусть в связи с некот. оп. G нас интересует наступление случайного события A, проводим n-испытаний, пусть при этом соб. А произошло m-раз, m≤n.
Число
называется относительной
частотой (частостью)
появления события А
(в этих n-испытаниях).
Есть события д/к-рых относ. частоты обладают опред-го рода устойчивостью: при больших n они стабилизируются около некоторого пост-го р. Это число – вероятность события А.
Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина, вокруг которой колеблются значения частостей при неограниченном возрастании числа n.
Пространство элементарных событий.Классич опред-е вер-сти
События, которые нельзя разложить на составляющие их события, называются элементарными. Любое событие А из пространства достоверных событий можно составить из элементарных событий. Совокупность всех эл. событий в опыте называется пространством эл. событий.
Классическое определение вероятности
Классической схемой, или схемой случаев, называется опыт, при к-ром число элем. Исходов конечно и все из них равновозможны.
Элементарное событие (исход) называется благоприятным д/события А, если его появление влечет наступление события А (т.е. эл.событие входит в число элементов, составляющих А).
К
лассической
вероятностью события А
называется отношение числа т
эл. событий, благоприятных д/событию А,
к числу п
всех элементарных событий из этой схемы:
Из определения вероятности следует, что Р(Ø) = 0
4. Геометрическая вер-ть.Задача о встрече
В случае бескон. кол-ва равновозможных эл. исходов оп. G пространство элементарных событий часто м. представить в виде некоторого мн-ва Ω в простр-ве (одномерное пространство R-прямая; двумерное-R). Элемен. событие есть (.)-ки заполняющие мн-во Ω, тогда любому событию А соот-ет некоторое подмн-во мн-ва Ω.
Геом.вероятностью соб.А наз-ся отношение объема мн-ва А к объему всего мн-ва Ω.
P(A)=V(A) / V(Ω) 0≤P(A)≤ 1
Таким образом представим след. ситуация: бросаем наугад точку в обл. Ω (стреляем по Ω) попадание в мн-во А означает, что произошло событие А
Замечание: В дальнейшем пр-во эл.событий Ω будем изобр. в виде прямоуг. если это прямоуг. единич. площади то очевидно P(A)=S(A)/S(Ω)=S(A)
Задача о встрече:
2
студента договорились встретиться.
Каждый из них приходит в течение 1 ч. и
ждет 20 мин. Какова вероят. их встречи?
Опишем пр-во эл. соб.: Пусть x- время прихода 1 студ., y- время прихода 2-го студ.
Тогда 0≤x≤1ч. и 0≤y≤1ч.; в кач-ве Ω м. рассматривать квадрат. Событие А={студ.встретятся}={|x-y|<1/3}Интервал м/у приходами ст-ов не дБ >20 мин
|x-y|<1/3 ‹=› -1\3<x-y<1\3
y≤x+1/3 y>x-1/3
S(A)=S(Ω)—2*1|2*2|3*2|3=1- 4|9= 5|9
P(A)=S(A)/S (Ω)=5|9/1 =5\9