Билет №20

Вопрос 1

Непрерывность функции в точке

Билет №20

Вопрос 2

Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Физический смысл производной: если функция описывает какой-либо физический процесс, то её производная есть скорость протекания этого процесса

Геометрический смысл: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции

Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х, если её приращение у в этой точке можно представить в виде , где А - не зависящая от х величина, (х) - БМ высшего порядка по сравнению с х: при х0.

Теорема о связи непрерывности функции в точке с её дифференцируемостью:

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Билет №21

Вопрос 1

Предел функции при , геометрическая интерпретация

Вопрос 2

Экстремумом функции называется её максимум или минимум

Билет №22

Вопрос 1

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных эле­ментарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифме­тических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и опера­ций взятия функции от функции, называется элементарной функцией

Теорема: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена?

Вопрос 2

Дифференциалом функции в точке x называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается

Геометрический смысл: дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение

Понятие инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим дифференциал функции   в произвольной точке промежутка  : . Здесь  - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от  . Пусть теперь    - функция независимого переменного  , определенная на промежутке   . Тогда   - сложная функция переменного  . Вычислим ее дифференциал, используя формулу для производной сложной функции:   . Заметим, что  и выражение для дифференциала принимает ту же форму  , хотя здесь   уже функция переменного   . Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что   - функция переменного   . Поэтому  и форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.

Билет №23

Вопрос 1

Ограниченные

Определение Множество { x} называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что любого x принадлежащего { x} где x ≤ M , где М называется верхней гранью множества { x}

Пример:

{−1, 2,3, 4,5} , M 1 = 5,M 2 = 6,M 3 = 10,... .

Теорема Ограниченное сверху множество имеет бесконечное число верхних граней.

Определение Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью x = Sup { x} (от латинского supremum - наивысшее).

Пример:

{−1, 2,3, 4,5} , x = 5.

Определение Множество { x} называется ограниченным снизу, если существует такое число M, что для любого x принадлежащего { x} где x ≥ M , где M – нижняя грань { x}.

Теорема Ограниченное снизу множество имеет бесконечное число нижних граней.

Определение Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью

x = Inf { x} (от латинского infimum - наинизшее) (ТНГ { x} ).

Определение Множество { x} называется ограниченным, если существует число

М > 0 такое, что для любого x принадлежащего { x} где x ≤ M . Ограниченное множество является

одновременно ограниченным и снизу, и сверху.

Неограниченные

Определение Множество { x} называется неограниченным, если для любого сколь угодно большого числа М > 0 найдется элемент x принадлежащий { x} , удовлетворяющий неравенству: x ≥ M

Пример:

Неограниченные множества:

(-∞,∞) – неограниченное множество,

(-∞,2] – неограниченное снизу множество,

[-5,∞) - неограниченное сверху множество.

! Для того чтобы множество было неограниченным, достаточно, чтобы

оно было неограниченным либо сверху, либо снизу.

Определение Число М называется наибольшим элементом множества { x} M = max{ x} , если

1) M принадлежит{ x} ;

2) для любого x принадлежащего{ x} : x ≤ M .

Определение Число m называется наименьшим элементом множества { x},m = min { x} , если

1) m принадлежит { x} ;

2) для любого x принадлежащего{ x} : x ≥ m .

! Ограниченное сверху (снизу) множество может иметь наибольший (наи-

меньший) элемент, а может и не иметь его:

{ х} = [ a; b] , max{ x} = b , min { x} = a ;

{ х} = ( a; b ) , max{ x} , min { x} не существуют.

.