Билет №14

Вопрос 1

Пусть функция y = f(x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

1. существует ;

2. этот предел равен значению функции в точке х₀: .

Пусть функция y = f(x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для 0 существует положительное число , такое что для всех х из -окрестности точки х₀ (т.е. если х- х₀ ) выполняется неравенство  f(x) - f(х₀) .

Здесь учитывается, что значение предела должно быть равно f(х₀), поэтому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотости -окрестности 0х- х₀ . Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Ещё одно равносильное определение на языке последовательностей:

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любой последовательности точек области определения, сходящейся к х₀, последовательность соответствующих значений функции сходится к f(х₀): .

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ слева, если .

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ справа, если .

Теорема 2 (о переходе к пределу под знаком непрерывной функции)

Добавим к условиям теоремы 1(о замене переменных в пределе) требования непрерывности функции в точке .

Учитывая это и применяя доказательство теоремы 1 имеем:

Билет №14

Вопрос 2

Правило Лопиталя-Бернулли

(неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х):

1. непрерывны на отрезке [a, b];

2. , ;

3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a,b), причём g'(х)  0;

4. существует (конечный или бесконечный) .

Тогда существует , и .

Д ок-во. Так как функции f (х) и g (х) непрерывны в точке а, то , , и . Для функций f (х) и g (х) на отрезке [a, х] выполняются условия теоремы Коши, поэтому существует точка с(a, х), такая что . Устремим , при этом и . В пределе получим , что и требовалось доказать.

Билет №15

Вопрос 1

Второй замечательный предел

Доказательство: как известно , где Этот предел доказывается через теорему Вейерштрасса с использованием бинома Ньютона.

Следствия второго замечательного предела:

Билет №15

Вопрос 2

1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Билет №16

Вопрос 1

Функция, непрерывная на отрезке

Свойства (в виде теорем):

5. (1-ая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке

6. (2-ая теорема Вейерштрассе) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений

7. (1-ая теорема Больцано-Коши) Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и на его концах принимает значение разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка , в которой данная функция обращается в нуль:

8. (2-ая теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между

Доказательство: Рассмотрим функцию . Очевидно, что она непрерывна на отрезке причём на концах этого отрезка принимает значения противоположного знака, по первой теореме Коши в интервале найдётся такая точка c токая, то