Вопрос 2

Максимумы и минимумы ф-ии на отрезке наз-ют локальными экстремумами ф-ии.

Билет №9

Вопрос 1

Предел функции при стремлении аргумента произвольном

Геометрическая интерпретация для случая

Билет №9

Вопрос 2

Дифференциалом функции в точке x называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается

Геометрический смысл: дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение

Понятие инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим дифференциал функции   в произвольной точке промежутка  : . Здесь  - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от  . Пусть теперь    - функция независимого переменного  , определенная на промежутке   . Тогда   - сложная функция переменного  . Вычислим ее дифференциал, используя формулу для производной сложной функции:   . Заметим, что  и выражение для дифференциала принимает ту же форму  , хотя здесь   уже функция переменного   . Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что   - функция переменного   . Поэтому  и форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.

Билет №10

Вопрос 1

Сравнение бесконечно малых

Сравнение бесконечно больших

Если - конечное число, отличное от нуля, то ББ функции F(х) и G(х) называются бесконечно большими одного порядка роста при ха.

Если =0, то ББ G(х) называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с F(х) (F(х) называется бесконечно большой низшего порядка по сравнению с G(х)). Обозначение: F(x) = o(G(x)).

Если =1, то ББ G(х) и F(х) называются эквивалентными

• 

• 

• 

Сделаем замену:

т.к.

Билет №10

Вопрос 2

Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Геометрический смысл: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции

Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х, если её приращение у в этой точке можно представить в виде , где А - не зависящая от х величина, (х) - БМ высшего порядка по сравнению с х: при х0.

Теорема о связи дифференцируемости с существованием конечной производной:

Теорема о связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции:

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней

Билет №11

Вопрос 1

Теоремы об арифметических операциях с функциями, имеющими конечные пределы:

1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов

2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов

3. Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю

4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Вопрос 2

Теорема Каши