Билет №3

Вопрос 2

Односторонние производные

Правосторонний предел

называется правосторонней производной или производной справа и обозначается символами

Аналогично, левосторонний предел

называется левосторонней производной или производной слева и обозначается символами

Пусть дана функция Тогда существует конечная производная f'(x₀) тогда и только тогда, когда существуют конечные и равные односторонние производные f' ₊ (x₀) = f' ₋ (x₀).

Связь понятий односторонних и обычной производных функций.

Теорема. Ф-я у=f(x) имеет произв. в т. х(a,b) тогда и только тогда, когда  односторонние производные и они равны м-у собой.

Док-во по опр.одн. произв. и по теор. о пределе(ф-я имеет предел т.ит.т….)

Замечание. Если ф-я у=f(x) имеет производную во всех точках интервала из её области определения, то сама производная представляет собой новую ф-ю арг-та х, определенную на том же интервале х(a,b).

Дифференциал dу ф-ии у=f(x), при х(a,b) явл. линейной ф-ей аргумента dу=сх, т.е. процедура взятия дифференциала порождает отображение промежутка (a,b) во мн-во линейных ф-ий. Это отображение наз. оператором(дифференциальным оператором, в данном случае).

Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она была непрерывной в этой точке.

Дано: - дифференцируема в точке.

Доказать: - непрерывна в точке.

, где - б.м.ф. при .

- непрерывна в заданной точке.

Билет № 4

Вопрос 1

Графики некоторых функции расположены на плоскости так, что они неограниченно приближаются к некоторой прямой. Эти прямые называются асимптотами к графику функции.

Определение 1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой к графику функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов , равен +¥ или -¥.

Как правило, в точке а функция терпит разрыв второго рода.

Определение 2. Прямая у=b называется горизонтальной асимптотой к графику функции y=f(x), если .

Определение 3. Прямая у=kx+b называется наклонной асимптотой к графику функции y=f(x), если функцию можно представить в виде f(x)=kx+b+ , где - б.м. при .

Найдем параметры наклонной асимптоты.

1. Найдем k.

f(x)=kx+b+ .

Разделим обе части равенства на х.

.

Переходя к пределу при , получим

,

2. Найдем b.

f(x)=kx+b+ ,

b+ = f(x)-kx.

Переходя к пределу при , получим

.

Если k=0 и b¹0, то наклонная асимптота становится горизонтальной.

Билет № 4

Вопрос 2

Производной функции в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение стремиться к нулю.

Функция имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x₀ производную и принимает в этой точке значение u₀ = u(x₀), а функция y= f(u) имеет в точке u₀ производную y '_u= f '(u₀), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x₀ тоже имеет производную, которая равна y '_x= f '(u₀)·u '(x₀), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х₀ будем иметь u₀=u(x₀), у₀=f(u₀). Для нового значения аргумента x₀+Δx:

Δu= u(x₀ + Δx) – u(x₀), Δy=f(u₀+Δu) – f(u₀).

Т.к. u – дифференцируема в точке x₀, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y '_uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y '_x= y '_u·u '_x . Теорема доказана.