- •Определение через перестановки
- •Свойства обратной матрицы
- •Способы нахождения обратной матрицы
- •Точные (прямые) методы Метод Гаусса—Жордана
- •С помощью матрицы алгебраических дополнений
- •[.] Использование lu/lup-разложения
- •4)Алгоритм нахождения матрицы Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •5)Системы линейных алгебраических уравнений Система линейных алгебраических уравнений
- •Матричная форма
- •Методы решения
- •6)Основные понятия систем линейных уравнений Системы линейных уравнений: основные понятия
- •Метод Крамера
- •[Править] Описание метода
- •Описание метода
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Линии второго порядка
- •1. Задание числовой последовательности
- •2. Действия над последовательностями
- •Определение
- •Определение
- •Первый замечательный предел
- •[Править] Второй замечательный предел
- •Определение
- •[Править] Определение производной функции через предел
- •[Править] Дифференцируемость
- •Правила дифференцирования
- •Производные высшего и дробного порядка
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
- •[Править] Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •23)Возрастание и убывание ф-ии. Максимум и минимум Возрастание и убывание функции. Точки максимума и минимума функции
- •Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из : | LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Доказательство следствий [показать]
[Править] Второй замечательный предел
или
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений x [показать]
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
для ,
19)Понятие производной. таблица производной
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
Определение
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде
f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h)
если существует.
[Править] Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,
[править] Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).
[Править] Дифференцируемость
Основная статья: Дифференцируемая функция
Производная функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление
при
20)Правило дифференцирования