1. Задание числовой последовательности

Определение. Занумерованный ряд чисел a₁, a₂, a₃, …, a_n, … называется числовой последовательностью.

Наиболее простой способ задания последовательности – это ее задание с помощью формулы общего члена, т. е. формулы, явно выражающей зависимость n-ого члена последовательности от n. Например, формула a_n = 2n задает последовательность четных чисел 2, 4, 6, 8, … . Другим важным способом задания последовательности является так называемый рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-ый член последовательности с одним или несколькими предыдущими. Слово рекуррентный происходит от латинского слова рекурсия, что означает возврат. Вычисляя новый, очередной член последовательности, мы как бы возвращаемся назад, к уже вычисленным, предыдущим членам.

Примеры 1. Рекуррентное соотношение a_n = a_{n – 1} + 2 вместе с условием a₁ = 1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2: 1, 3, 5, 7, … . Это последовательность нечетных чисел. 2. Рекуррентное соотношение a_n = 2a_{n – 1} вместе с условием a₁ = 1 задает геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2: 1, 2, 2², 2³, … . Это последовательность степеней двойки, начиная с нулевой степени. Кстати, иногда члены последовательности удобно нумеровать с нуля, или вообще выбирать другой способ нумерации. 3. Рекуррентное соотношение a_n = a_{n – 1} + a_{n – 2} вместе с условием a₀ = 0, a₁ = 1 задает последовательность чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … .

Последовательность может быть задана словесным описанием, в котором определяется процесс построения членов последовательности. Например, описание «пусть a_n – это n-ое простое число» задает последовательность 2, 3, 5, 7, 11, 13, …, члены которой берутся из таблицы простых чисел или вычисляются каким-либо другим способом (например, с помощью решета Эратосфена). Последовательность является дискретным вариантом понятия функции. В отличие от привычной функции типа y = f(x), аргумент которой x определен на некотором числовом промежутке, последовательность а₁, а₂, …, … можно считать функцией, аргумент которой n принимает дискретный ряд значений n = 1, 2, 3, … . Часто ее n-ый член можно выразить как значение некоторой обычной функции y = f(x) для x = n: a_n = f(n).

Начало формы