- •Определение через перестановки
- •Свойства обратной матрицы
- •Способы нахождения обратной матрицы
- •Точные (прямые) методы Метод Гаусса—Жордана
- •С помощью матрицы алгебраических дополнений
- •[.] Использование lu/lup-разложения
- •4)Алгоритм нахождения матрицы Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •5)Системы линейных алгебраических уравнений Система линейных алгебраических уравнений
- •Матричная форма
- •Методы решения
- •6)Основные понятия систем линейных уравнений Системы линейных уравнений: основные понятия
- •Метод Крамера
- •[Править] Описание метода
- •Описание метода
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Линии второго порядка
- •1. Задание числовой последовательности
- •2. Действия над последовательностями
- •Определение
- •Определение
- •Первый замечательный предел
- •[Править] Второй замечательный предел
- •Определение
- •[Править] Определение производной функции через предел
- •[Править] Дифференцируемость
- •Правила дифференцирования
- •Производные высшего и дробного порядка
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
- •[Править] Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •23)Возрастание и убывание ф-ии. Максимум и минимум Возрастание и убывание функции. Точки максимума и минимума функции
- •Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции
Вопросы по математике:
1)Матрицы и действия над ними
Определения.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений, содержащая m строк и n столбцов:
,
называют элементами матрицы.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m=n, называется квадратной матрицей, а число n называется порядком матрицы:
A =
Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, то матрицу называют диагональной. Если в диагональной матрице все элементы главной диагонали равны между собой, то ее называют скалярной.
Если в скалярной матрице все элементы главной диагонали равны единице, то матрицу называют единичной и обозначают буквой E .
Если все элементы матрицы равны 0, то матрица называется нулевой и ее обозначают буквой O.
Две матрицы считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами, равны, т.е. если
Сложение матриц.
Суммой матриц одной и той же размерности называется матрица размерности , каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц A и B:
Матрицы разных размерностей складывать нельзя.
Пример1. .
Свойства сложения матриц. 1. Коммутативность. A+B=B+A 2. Ассоциативность. (A+B)+C=A+(B+C)
Умножение матриц, транспонирование матриц.
Матрица C, элементы которой сij равны элементам матрицы A, умноженным на число α, называют произведением матрицы A на α:
Пример 2. .
Произведением матрицы размерности на матрицу размерности называется матрица размерности , где:
Произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Пример 3.
Пример 4.
Результатом транспонирования матрицы размерности является матрица размерности , где
Пример 5.
Свойства транспонированных матриц.
1). Если E-единичная матрица, то E=ET.
2). Двукратное транспонирование не изменяет матрицу (AT)T=A.
3). Транспонирование суммы матриц равносильно сложению транспонированных матриц: (A+B)T=AT+BT
4).Транспонирование произведения матриц равносильно умножению транспонированных матриц: .
5). Транспонирование обратной матрицы равносильно вычислению обратной к транспонированной матрице: (A-1)T=(AT)-1 .
6). Если транспонированная матрица AT совпадает с данной матрицей A, то матрица A называется симметрической.
2)Определитель матрицы
Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца. Определение через разложение по первой строке
Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:
Для матрицы детерминант определяется как
Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:
, где — дополнительный минор к элементу a1j. Эта формула называется разложением по строке.
В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):
Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):
Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):
Определение через перестановки
Для матрицы справедлива формула:
,
где α1,α2,...,αn — перестановка чисел от 1 до n, N(α1,α2,...,αn) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют «членами определителя». Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.
3)Обратные матрицы Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
Свойства обратной матрицы
, где обозначает определитель.
для любых двух обратимых матриц A и B.
где * T обозначает транспонированную матрицу.
для любого коэффициента .
Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Способы нахождения обратной матрицы
Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:
Точные (прямые) методы Метод Гаусса—Жордана
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λi (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
.
.
Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ, то есть будет искомой. Сложность алгоритма — O(n3).
С помощью матрицы алгебраических дополнений
CT — транспонированная матрица алгебраических дополнений;
Полученная матрица A−1 и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n²)·Odet.
Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.
[.] Использование lu/lup-разложения
Матричное уравнение AX = In для обратной матрицы X можно рассматривать как совокупность n систем вида Ax = b. Обозначим i-ый столбец матрицы X через Xi; тогда AXi = ei, ,поскольку i-м столбцом матрицы In является единичный вектор ei. другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)[1].
Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение PA = LU. Пусть PA = B, B − 1 = D. Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U − 1L − 1. Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида UD = L − 1 и DL = U − 1. Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)−1 = A−1P−1 = B−1 = D. получаем равенство A − 1 = DP.
В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.
Сложность алгоритма — O(n³).
Итерационные методы
Методы Шульца
Оценка погрешности
Выбор начального приближения
Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору , обеспечивающие выполнение условия (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и , то можно взять , где ; если же A — произвольная невырожденная матрица и , то полагают , где также ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что , положить ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что будет малой (возможно, даже окажется ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу. Примеры
Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что .