33. Понятие о развертках гранных поверхностей. Развертка призматических поверхностей. Метод нормального сечения.

Развёртка — это фигура полученная при совмещении поверхности с плоскостью.

1) Прямая на поверхности, переходит в прямую на развёртки.

2) Параллельные прямые на поверхности переходят в параллельные прямые на развёртке.

3) Угол между прямыми на поверхности, равен углу между этими прямыми на развёртке.

4) Длина линии на поверхности равна длине этой линии на развёртке.

5) Площадь поверхности равна площади развёртки.

Все размеры на поверхности равны размерам на её развёртке.

Развёртки призматических и цилиндрических поверхностей. Построение развёртки призмы способом нормального сечения Нормальным называется сечение перпендикулярное боковым рёбрам призмы.

Прежде чем приступить к построению развёртки данным методом необходимо убедиться что боковые рёбра призмы являются линиями уровня, т.е. параллельны какой либо плоскости поверхности.

Если данное условие не соблюдается, необходимо при помощи методов преобразования чертежа перевести поверхность в положение при котором боковые рёбра займут частное положение.

Порядок построения

1) Определяем натуральную величину рёбер призмы.

2) Строим нормальное сечение.

3) Определяем натуральна величину нормального сечения.

4) На свободном поле чертежа проводим прямую на которой последовательно откладываем натуральную величину сторон нормального сечения.

5) К вершинам развёрнутого нормального сечения проводим перпендикуляр на которых отмечаем соответствующие длины боковых рёбер. Соединяем полученные точки отрезками прямых линий.

6) Достраиваем основание.

Развёртку цилиндрической поверхности, а тек же призматической поверхности можно провести методом раскатки. Предварительно убедившись что одно из оснований …

если данное условие не соблюдается, то применив метод преобразования необходимо привести поверхность в положение необходимое для решения задачи.

34. Построение разверток цилиндрических поверхностей. Метод раскатки.

Развертка цилиндрической поверхности выполняется аналогично развертке призмы. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму (рис.8.45). Чем больше углов в призме, тем точнее развертка ( приn →∞призма преобразуется в цилиндр).

35. Построение развертки пирамидальной поверхности. Метод триангуляции.

Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с плоскостью.

Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины отдельных граней поверхности – плоских многоугольников.

С уществует три способа построения развертки многогранных поверхностей:

1. Способ нормального сечения;

2. Способ раскатки;

3. Способ треугольника.

Пример 1. Развертка пирамиды

При построении развертки пирамида применяется способ треугольника. Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды и многоугольника - основания. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трем сторонам треугольников, их образующих. Для этого необходимо знать натуральную величину ребер и сторон основания.

Алгоритм построения можно сформулировать следующим образом (рис.):

1 .Определяют натуральную величину основания пирамиды (например методом замены плоскостей проекций);

2.Определяют истинную величину всех ребер пирамиды любым из известных способов (в данном примере натуральная величина всех ребер пирамиды определена методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину пирамиды S);

3.Строят основание пирамиды и по найденным трем сторонам строят какую-либо из боковых граней, пристраивая к ней следующие (рис.).

Точки, расположенные внутри контура развертки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех ребер, по которым многогранник разрезан, на развертке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развертки. 

Примером первой точки на рисунках служит точка К₀ и КОSАD, а иллюстрацией второго случая являются точки М₀ и М₀^*. Для определения точки К₀ на развертке пришлось по ее ортогональным проекциям найти длины отрезков АМ ( метод замены плоскостей проекций) и SК (метод вращения). Эти отрезки были использованы затем при построении на развертке сначала прямой S₀М₀ и, наконец, точки К₀.

Пример 2. Развертка призмы

В общем случае развертка призмы выполняется следующим образом. Преобразуют эпюр так, чтобы ребра призмы стали параллельны новой плоскости проекций. Тогда на эту плоскость ребра проецируются в натуральную величину.

Пересекая призму вспомогательной плоскостью α, перпендикулярной ее боковым ребрам (способ нормального сечения), строят проекции фигуры нормального сечения – треугольника 1, 2, 3, а затем определяют истинную величину этого сечения. На примере она найдена методом вращения.

В дальнейшем строям отрезок 1₀-1₀^*, равный периметру нормального сечения. Через точки 1₀, 2₀, 3₀ и 1₀^* проводят прямые, перпендикулярные 1₀-1₀^*, на которых откладывают соответствующие отрезки боковых ребер призмы, беря их с новой фронтальной проекции. Так, на перпендикуляре, проходящем через точку 1₀, отложены отрезки 1₀D₀=1₄D₄ и 1₀А₀=1₄А₄.

Соединив концы отложенных отрезков, получают развертку боковой поверхности призмы. Затем достраивают основание.