§12. Разложение функций в ряд Тейлора (Маклорена).
1)
.
.
(*)
Покажем, что ряд сходится к e.
Полученный ряд
(*) сходится к функции
для любого x.
-
расходится на R.
2)
3)
.
4)
- дифференциальное
уравнение, с начальным условием.
Задача Коши.
5)
.
Сходится на
.
15. Приложения степенных рядов. Приближенное вычисление значений ф-ций. Вычисление сумм числовых рядов.
Приближенное вычисление значений ф-ций.
-
входит в обл. сходимости.
Подставляют
В
зависимости от того, с какой точностью
требуется вычислить
оставляют достаточное число членов
этого числового ряда. Достаточное число
слагаемых берут из оценки достаточного
члена ф-лы Тейлора или ост члена ряда
Тейлора. Либо для знакочередуюшегося
ряда, используя следствие из признака
Лейбница.
Пример:
Найти значение
с точностью до 0,01
2) Вычисление сумм числовых рядов.
16. Приложения степенных рядов. Приближенное вычисление интегралов.
Для
вычисления определенных интегралов
Подинтегральную ф-цию разлагают в ряд Маклорена и в области равномерной сходимости возможно почленное интегрирование
17. Нахождение коэффициентов тригонометрического ряда по формулам Фурье.
Если n и k – целые числа, то
.
18. Одно замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье.
Отметим следующее свойство периодической функции ψ(х) с периодом 2π:
каково бы ни было
число λ.
Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции ψ(х) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение.
19.
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных
ф-ций на интервале
.
1. Пусть ф-ция f(x) – четная, т. е. f(-x)=f(x).
Значит:
;
;
.
Ряд Фурье для четных ф-ций – ряд только по косинусам
2. Пусть ф-ция f(x) – нечетная, т. е. f(-x)=-f(x).
Значит:
;
;
.
Ряд Фурье для четных ф-ций – ряд только по синусам
20. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на интервале [-l; l].
Пусть f(х) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим ее в ряд Фурье.
Сделаем замену
переменной по формуле:
.
Тогда функция
будет периодической функцией от t
с периодом 2π. Ее можно разложить в ряд
Фурье на отрезке
:
где
Возвратимся теперь к старой переменной х:
Тогда будем иметь:
21. Разложение в ряд Фурье непереод. ф-ций.
Пусть ф-ция f(x) непереодич., заданная на [a,b].
Вместо функции
f(x)
рассматривают ф-цию
с периодом 2l, причем [a,b]
и на [a, b]
ф-ция
совпадает
с функцией f(x).
Поскольку функция периодическая то ее разлагают в ряд Фурье.
Рассмотрим один важный случай: пусть функция f(x) задана на интервале (0, l) . Ее надо доопределить на интервале (-l , 0). Можно доопределить четным образом. В этом случае мы получаем ряд Фурье только по косинусам.
Можно доопределить нечетным образом. Получим ряд Фурье только по синусам.
22. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена.
Представление ф-ции бесконечным рядом имеет на практике тот смысл, что конечная сумма, получающаяся при обрывании ряда на n-м члене, является приближенным выражением.
Приближенное
представление периодической функции
f(x)
тригонометрическим многочленом вида:
Рассмотрим функцию
y=f(x)
на [a, b].
Оценим погрешность при замене этой
ф-ции ф-цией
.
За меру погрешности можно взять
на
[a, b] –
наибольшее уклонение. Но берут среднее
квадратичное уклонение
:
.
Среди всех тригонометрических многочленов порядка n наименьшее среднее квадратичное уклонение от ф-ции f(x) имеет тот многочлен, коэф. которого – коэф. Фурье функции f(x).
Величина наименьшего
квадратичного уклонения:
Т. к.
,
то при любом n:
- неравенство Бесселя.
Можно показать, что если ф-ция f(x) явл. кусочно-монотонной, то при это неравенство превращается в равенство Парсеваля-Ляпунова.
23. Приложения рядов Фурье для нахождения суммы числовых рядов. Разложение ф-ий, заданных графически.
Для нахождения
суммы числовых рядов применяется формула
.
При x=x0
удается найти сумму соотв. числового
ряда не прибегая к нахождению частичных
сумм ряда.
;
;
.
24.Интеграл Фурье.
Пусть ф-ция f(x) представлена на отрезке (-l;l)
,
где
;
;
f(x)
абсолютно интегрируема на
,
тогда
*
Ф-ция
, стоящая в правой части явл. Ф-цией от
переменных
.
Устремим
.
Можно показать что если ф-ция f(x)
кусочно-монотонная и ограничена, то
тогда
превращается в следующее (при
)
-интеграл
Фурье.
25.Ряд Фурье в комплексной форме.
;
;
;
интеграл
Ф. В комплексной формуле при (
):