§4.Признаки д’ Аламбера и Коши сходимости знакоположительных числовых рядов.

Теорема 1 (признак Д’Аламбера). Пусть , и пусть существует , тогда:

1. Если L<1 - сходится.

2. Если L>1 - расходится.

Доказательство. Согласно определению интеграла для такой, что .

1. Пусть L<1, тогда можно выбрать такое, что , так как a_n>0 a_n+1<qa_n в частности .

Рассмотрим ряд, членами которого являются правые части - геометрическая прогрессия со знаменателем сходится, значит согласно теореме 3 сходится ряд

и из левых частей (но этот ряд равен исходному) = что сходится .

2. Пусть L>1 , такой, что согласно левой части неравенства получаем, что .

, т.к. q>1.

Это означает, что последовательность {a_n} – не убывающая по крайней мере начиная с номера n₀ тем самым тогда не выполняется необходимый признак сходимости и значит ряд расходится.

Теорема 2 (признак Коши). Пусть , и пусть предел тогда:

1. Если L<1 - сходится.

2. Если L>1 - расходится.

Доказательство. Согласно определению предела для существует такой, что .

1. Пусть L<1; можно подобрать так, чтобы - сходится (прогрессия с ), то - сходится по теореме 3.

2. Пусть L>1; можно подобрать так, чтобы - расходится, тогда согласно теореме 3 - расходится.

§5. Интегральный признак сравнения.

Теорема 2 (интегральный признак сходимости). Пусть - ряд с положительными членами и существует функция f(x) > 0 непрерывная и определенная на интервале [1; + ),

такая что f(n)=a_n, . Ряд сходится , когда сходится .

- ряд Дирихле: при p>1 – ряд сходится;

при p 1 – ряд расходится.

Доказательство. Для произвольного действительного числа x найдутся целые числа k такие, что . Так как f(x) монотонно убывает: . Перейдем к интегралам в неравенстве: .

Просуммируем эти неравенства при всех k=1, .., n.

.

2. Пусть сходится , где I – число, тогда . Это означает по неравенству (**), что S_n+1-a₁ I, т.е. последовательность частичных сумм ограничена.

3. Пусть - сходится, тогда {S_n} – ограничена. Согласно неравенству (*), тогда и последовательность интегралов { } – ограничена и значит она сходится при , т.е. сходится несобственный интеграл - сходится.

Пусть ряд - расходится, т.е. расходится последовательность {S_n} – (неограниченно возрастает). Тогда S_n+1-a₁ – также неограниченно возрастает. В силу неравенства (**) последовательность { }–

4. неограниченно возрастает. Тогда - расходится.

5. Если расходится интеграл по (*) что - расходится.

q<1 – сход.

q>1- расход.

§6,7. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Теорема1. Если знакопеременный ряд таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется условно или не абсолютно сходящимся рядом.

Знакопеременными называются ряды, которые содержат как положительные, так и отрицательные члены, со сколь угодно большими номерами.

Частным случаем таких рядов являются знакочередующие, т.е. ряды, в которых любые 2 соседних члена имеют разные знаки.

Знакочередующие ряды удобно представить в виде (*), где (в случае если a₁>0).

Теорема 1 (признак Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд (*) удовлетворяет следующим условиям:

1. (начиная с номера n₀ монотонно убывает).

2. ,

тогда данный ряд сходится, причем для справедливо следующая оценка остатка .

Доказательство. Можно считать, что условие 1 выполняется для всех n. Рассмотрим частичную сумму S_2n. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

каждая разность в скобках неотрицательная. Т.е. последовательность и S_2n возрастающая последовательность.

С другой стороны последовательность S_2n представима следующим образом , опять в скобках все разности неотрицательны .

Тем самым последовательность {S_2n} ограничена и значит она сходится.

Обозначим через .

Рассмотрим , тогда .

Таким образом все частичные суммы имеют предел S. Из полученных оценок , поэтому n-ый частичный остаток .

Пример. .

- убывающая последовательность , значит условие признака Лейбница выполняется - ряд сходится.