Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции
Теорема 1. Пусть
функции f(x) и g(x) непрерывны
в точке х0.
Тогда функция f(x) не равная g(x),
f(x)g(x) и 
(если g(x) не
равно 0) непрерывны в точке x0.
Доказательство.
Пусть f(x) и g(x) непрерывны
в точке x0.
Это значит, что 
. Но
тогда, по свойствам пределов
Последнее свойство верно,
если 
.
Пусть y=f(x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x=(t). Тогда комбинация y=f((t)) называетсясложной функцией, или суперпозицией функции (t).
Точки разрыва функции
Определение. Функция 
имеет точку
разрыва при 
,
если она определена слева и справа от
точки 
,
но в точке
не
выполняется хотя бы одно из условий
непрерывности.
Формулировка
Пусть
дана непрерывная
функция на отрезке 
Пусть
также 
и
без ограничения общности предположим,
что f(a)
= A < B = f(b). Тогда
для любого 
существует 
такое,
что f(c)
= C.
Теорема Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции). |
|
Теорема
Коши (о промежуточных значениях
непрерывной функции) пусть функция
f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на
концах этого отрезка принимает
значения разных знаков, тогда найдется
такая точка |
,
в которой значение функции равно
нулю.
Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем.
Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения).
Определения
[править]Равномерная непрерывность числовых функций
Основная статья: Непрерывная функция
Числовая функция
вещественного переменного 
равномерно
непрерывна, если
Здесь важно, что выбор δ зависит только от величины ε.
[править]Равномерная непрерывность отображений метрических пространств
Пусть
даны два метрических
пространства 
и 
Отображение 
называется равноме́рно
непреры́вным на подмножестве 
если
Пример
Функция
непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как при любом ε > 0 можно указать отрезоксколь угодно малой длины такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на ε. Другой пример: функция
непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как
Для
любого ε
> 0 можно
выбрать отрезок сколь угодно малой
длины ε
/ x такой,
что разница значений функции f(x)
= x2 на
концах отрезка будет больше ε. В
частности, на отрезке 
разница
значений функции стремится к 2ε.
Теорема Кантора
Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно-непрерывна на этом сегменте.
Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть 
и 
—
две функции, бесконечно малые в точке 
.
Если 
,
то говорят, что
более
высокого порядка малости, чем
и
обозначают 
.
Если же 
,
то
более
высокого порядка малости, чем
;
обозначают 
.
Бесконечно малые функции
и
называются
бесконечно малыми одного порядка
малости, если 
,
обозначают 
.
И, наконец, если 
не
существует, то бесконечно малые
функции
и
несравнимы.
ПРИМЕР 2. Сравнение бесконечно малых функций
Эквивалентные бесконечно малые функции.
Если 
,
то бесконечно малые
функции
и
называютсяэквивалентными,
обозначают
~
.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ