Перенос форм при отображениях
Опр.1:
- операция переноса
Опр.2:
Свойства операции переноса:
1.
2.
3.
4.
Координатная запись форм, возникающих при переносе.
Пример:
Утв.:
Если:
То:
Утв.:
Если:
,
в
задана дифференциальная форма
,
То: Координатная запись формы
может быть получена из координатной
записи исходной формы
прямой заменой переменных
с последующим преобразованием в
соответствии со свойствами внешнего
произведения.
Лекция 16
Глава 4. Криволинейные и поверхностные интегралы.
Опр.:
-форма
- сужение формы
на
Опр.:
- гладкая ориентированная поверхность
- её локальная карта
-
-форма
на
-диффеоморфизм
- касательные векторы,
Утв.:
Опр.:
- Интеграл от дифференциальной формы
по ориентированной поверхности
размерности
.
Опр.:
а)
б)
задана картой
«+» - когда ориентация поверхности согласована с ориентацией, задаваемой параметризацией , иначе «-».
в) Когда
- кусочно-гладкая
.
Поверхность
,
после удаления из неё поверхностей
размерности не выше, чем
,
состоит из гладких поверхностей
со взаимно согласованной ориентацией.
Пример: Если из куба удалить рёбра и вершины, то останутся шесть гладких поверхностей.
Утв.: Вышеприведённое определение не зависит от параметризации.
Док-во:
а)
б)
в) Корректность определения вытекает из свойств аддитивности кратного интеграла.
4.1. Интегралы от формы работы, потока. Форма объёма
Интеграл от формы работы.
Если:
-поле (силовое)
- параметризованная кривая
То:
Интеграл от формы потока
Если:
- поле скоростей
ориентированная
поверхность
- её карта
То:
Форма объёма
Опр.:
- ориентированное евклидово пространство со скалярным произведением.
-репер
Формой объёма на называется кососимметрическая -форма, которая на ортонормированном репере данного класса ориентации принимает значение единица.
Утв.:
Определение корректно
Док-во:
-матрица
перехода,
Утв.:
Значение формы объёма на наборе векторов
- ориентированный объём параллелепипеда,
натянутого на эти вектора.
Док-во:
Опр.:
-гладкая поверхность размерности
Пусть в касательном пространстве
ориентация согласована с исходной
ориентацией пространства
,
тогда форма объёма в
называется формой объёма на поверхности
.
Опр. 1:
Площадью поверхности
называется
Замечание:
Площадь поверхности не зависит от ориентации, т.к. при изменении ориентации меняется и форма объёма.
Опр. 2:
Утв.: опр.1 эквивалентно опр.2.
Док-во:
Опр.:
Если -кусочно-гладкая поверхность, состоящая из гладких частей , пересекающихся по поверхностям размерности не выше, чем , то площадь = сумме площадей .
Выражение формы объёма в декартовых координатах
Утв.:
Если:
- поверхность размерности
,
- единичный вектор нормали.
То:
Док-во:
Утв.:
Если:
- поверхность размерности 2,
- нормаль
То:
Док-во:
4.2. Интегралы I и II рода.
Опр.:
- ориентированная поверхность
- функция
- форма объёма
- интеграл I рода по
ориентированной поверхности
Пример:
- плотность
- масса
Замечание:
Изменение ориентации не меняет интеграл I рода, т.к. при изменении ориентации поверхности изменяется и форма объёма.
Замечание:
Т.к. -мерные кососимметрические формы размерности пропорциональны между собой, то любой интеграл II рода может быть представлен через интеграл I рода.
Примеры:
1.
- касательный вектор к кривой
- натуральный параметр
2.
Лекция 17