5.2. Потенциальные поля
Опр.:
1. - векторное поле в
называется потенциалом поля
в
,
если
2. Поле, имеющее потенциал, называется потенциальным.
Необходимое условие потенциальности:
Утв.:
Док-во:
Утв.:
Док-во:
Утв.:
Замечание: Необходимое условие не является достаточным.
Пример:
Критерий потенциальности:
Непрерывное векторное поле
потенциально в области
(циркуляция поля
вдоль любого замкнутого контура
равна нулю)
Док-во:
Топологическая структура области и потенциал:
Область
называется односвязной, если
замкнутого контура
кусочно-гладкая ориентированная
поверхность
.
Утв.:
Если: - односвязная область, - непрерывное векторное поле в .
То: Необходимое условие потенциальности является достаточным.
Док-во:
Замкнутые и точные формы
Опр.: Дифференциальная
-форма
называется точной в области
,
если:
.
Опр.: Дифференциальная
-форма
замкнута в области
,если
.
Утв.:
Если: - точная
То: - замкнутая
Док-во:
Лемма Пуанкаре.
Если: дифференциальная форма замкнута в шаре
То: она точна в этом шаре.
Th. Пуанкаре
Если: дифференциальная форма замкнута на стягивающемся в точку многообразии
То: она точна на нём.
5.3. Соленоидальные поля
Опр.: Поле
называется векторным потенциалом поля
в области
,
если
Опр.: Поле
называется соленоидальным, если
.
Th. Необходимое и достаточное условие соленоидальности поля:
Поле в области соленоидально
- кусочно-гладкая,
Док-во:
