Формулы Френе.
Если:
То:
Док-во:
1.
2.
3.
.
Геометрический смысл величин k и æ
Определение 12. Абсолютная величина скорости вращения единичного касательного вектора относительно натурального параметра называется кривизной кривой в этой точке.
- кривизна кривой,
- радиус кривизны кривой.
Определение 13. Абсолютная величина скорости вращения вектора бинормали относительно натурального параметра называется кручением кривой в этой точке, æ-кручение кривой. Знак « - » берётся, если вращение идёт в сторону вектора нормали, иначе «+».
Вычисление кривизны и кручения
Утверждение 2.
Док-во:
1)
2)
.
Вычисление кривизны и кручения в
случае произвольного параметра
Утверждение 3. Если:
.
То:
,
.
Вид кривой вблизи произвольной точки
Пусть
- ось
:
- ось
:
- ось
:
Лекция 7
2.2. Поверхность в Евклидовом пространстве
Опр.1:
называется
-мерной
поверхностью в
,
если:
- диффеоморфизм
Опр.2:
1. называется -мерной поверхностью в , если:
- диффеоморфизм,
2. - локальная карта поверхности
3. - криволинейные координаты
4. Множество точек на поверхности, у которых одна из координат не константа:
называется координатной линией
5. Гладкость отображения , если задаёт гладкость поверхности.
6. Совокупность локальных карт, задающих поверхность полностью:
называется атласом поверхности.
Утв.: Опр.1
Опр. 2
Пример 1:
- сфера в
размерность 2
- криволинейные координаты
Пример 2.:
- Тор в
Задание поверхностей размерности 2 имеет вид:
- радиус-вектор
Ориентация поверхности.
1. Ориентация пространства в .
Опр.: репер=базис.
- реперы в
- матрица перехода
Реперы называются принадлежащими к
одному классу ориентации, если
,
к разным, если
.
Опр.:
Ориентированное пространство -само пространство и фиксированный класс ориентации его реперов.
Задать ориентацию -зафиксировать один из классов ориентации реперов
2. Ориентация области
Опр.:
-орты,
направленные вдоль координатных линий.
Реперы принадлежат к одному классу
ориентации, если переход от одного к
другому осуществляется отображением
(матрицей Якоби) с якобианом
.
Опр.:
Ориентированная область - область и фиксированный класс ориентации её реперов (систем криволинейных координат).
Задать ориентацию области – задать непрерывное поле реперов (или задать криволинейную систему координат).
3. Ориентация поверхности размерности .
Опр.:
Задать ориентацию поверхности – задать ориентирующий репер поверхности (или задать её параметризацию, т.е. криволинейную систему координат)
Опр.:
Криволинейные системы координат принадлежат одному классу ориентации, если переход от одной к другой осуществляется отображением с положительным якобианом.
Опр.:
Локальные карты называются согласованными, если:
область их действия не пересекается, либо взаимные переходы в общей области действия этих карт осуществляются диффеоморфизмами с положительными якобианами.
Опр.:
Атлас поверхности называется ориентирующим, если он состоит из попарно согласованных карт.
Опр.:
Поверхность, обладающая ориентирующим атласом, называется ориентированной поверхностью.
Пример:
Сфера – ориентируемая поверхность.
Лист Мёбиуса, бутылка Клейна – неориентируемые поверхности.
Утв.:
Если: -ориентируемая связная поверхность,
То: у
ровно две ориентации (их называют
противоположными)
Если поверхность задаётся одной локальной картой, то достаточно задать или саму карту или репер.
Если поверхность состоит из нескольких связных компонент, но сама не является связной, то нужно задать ориентацию каждой части.
Задать ориентацию поверхности можно с помощью нормального вектора.
Утв.:
Если: поверхность обладает непрерывным полем реперов,
То: она обладает непрерывным полем нормалей.
Если параметризация поверхности не согласована с её ориентацией, то надо поменять местами две её координаты.
Опр.:
Поверхности, допускающие ориентацию, называются двусторонними, не допускающие - односторонними или не ориентируемыми.
Лекция 8