Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману. Верхние и нижние суммы Дарбу.

Определение 10. , разбиение промежутка,

верхняя сумма Дарбу ;

нижняя сумма Дарбу .

Лемма 2.

1. .

2. Если: разбиение получается измельчением разбиения ,

То:

3.

Доказательство.

, далее для выписываем пункт 2.

Определение 10.

Нижний интеграл Дарбу

Верхний интеграл Дарбу

Теорема 3 (Дарбу).

ограничена на

Теорема 4 (критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману).

и ограничена на .

Доказательство.

ограничена, и выполнен пункт 1 Леммы. Далее – используем определения верхнего и нижнего интегралов.

Используя пункт 1 Леммы и лемму о двух милиционерах.

Лекция 2

1.2. Интеграл по множеству. Допустимые множества

Определение 1. Множество называется допустимым, если оно ограничено и его граница имеет -мерную лебегову меру ноль ( ).

Пример 1. Куб, сфера.

Лемма 1. :

1. замкнуто в

2.

3.

4.

Замечание 1. Для бесконечного числа множеств это не верно.

Следствие 1.

1. Граница допустимого множества – компакт.

2. Объединение, пересечение и разность конечного числа допустимых множеств - допустимое множество.

3. из его покрытия системой открытых множеств можно выделить конечное покрытие, такое что:

Определение 2. Говорят, что множество имеет жорданову меру ноль ( ), если:

Замечание 2. Для границы множества жорданова мера ноль эквивалентна лебеговой.

Определение 3. Характеристической функцией множества называется функция:

Замечание 3. -допустимо почти всюду непрерывна (т.к. ).

Определение 4 (интеграл по множеству).

где

Определение 5. Мерой Жордана допустимого множества называется интеграл по этому множеству от единичной функции: .

Утверждение 1. существуют или не существуют одновременно, а если существуют, то равны.

Доказательство. . Функция отлична от нуля только внутри ( - носитель функции ) множество точек разрыва принадлежит отличаются нулевыми слагаемыми.

Теорема 1. Критерий Лебега интегрируемости функции по множеству.

Геометрический смысл меры Жордана

Пусть - допустимое множество,

Нижняя интегральная сумма Дарбу есть сумма объёмов промежутков, целиком принадлежащих множеству .

Верхняя интегральная сумма Дарбу есть сумма объёмов промежутков, имеющих с множеством общие точки.

Определение 6.

1. Если существует предел нижних сумм Дарбу, то он называется внутренней мерой Жордана.

2. Если существует предел верхних сумм Дарбу, то он называется внешней мерой Жордана.

3. Если внешняя и внутренняя меры Жордана совпадают, то множество называется измеримым по Жордану.

Утверждение 2. - измеримо по Жордану .

Общие свойства интеграла

1. Линейность

а) - допустимое множество является линейным пространством (в силу критерия Лебега и того, что объединение множеств меры ноль есть множество меры ноль).

б) интеграл – линейный функционал на .

Замечание. .

2. Аддитивность

а) Если - допустимые множества и , тогда т.е. .

б) Если кроме того , то .

Доказательство.

,

.

3. Оценка интеграла

- допустимое,

Утверждение 3. - допустимое множество, на почти всюду .

Следствие 2.

почти для всех .

Следствие 3.

почти для всех

Следствие 4.

Следствие 5.

- связное множество, .

Следствие 6.

.

Лемма 2.

на почти всюду, - допустимое, на почти всюду.

Доказательство. Рассмотрим промежуток

непрерывна почти всюду на , покажем что , где - точки непрерывности функции . Предположим противное: , -точки непрерывности

- противоречие. Далее переходим к через характеристическую функцию.