22. Анализ точности цифровых моделей непрерывных лис-систем: модель дискретной свёртки.
Смоделируем на компьютере преобразование сигнала линейной системой.
Есть
- непрерывный сигнал и
– ИХ Лис-системы.
- цифровой, где T –
шаг дискретизацииТ.к. на компьютере
интеграл брать не можем, то
Если:
исходный сигнал – стац. СП.
Лис-система устойчива
то
– стац. случ. последовательности.
Будем считать, что процедура моделирования не смещает получаемого значения, т.е. можно характеризовать ошибку ее дисперсией Dε.
Концепция идеального измерителя:
Модель дискретной свёртки
Входной сигнал сразу дискретизируется: 
Записываем в место интеграла дискретизации выражение дискретной свёртки:
(был
интеграл
).
Коэффициент T нужен, чтобы сохранить масштаб сигнала.
Погрешность: 
.
Представим ее в спектральной области: 
Спектр дискретного сигнала:
(Заменим:
)
Т.к. целое число периодов, то в показателе
выкидываем
.
Получаем:
t=nT
Более общее соотношение:
Имеем нужную систему, где в
- ЧХ.
- точечная характеристика, дискретизация
дисперсию стац. сигнала не меняет.
Для 2D систем:
Идеал:
На самом деле:
23. Анализ точности цифровых моделей непрерывных лис-систем: спектральная модель.
Есть непрерывный сигнал
,
который мы дискретизируем, и некоторая
функция частоты
.
Вычисляем передаточную функцию –
переходим в спектральную область:
рассмотрим основной период.
С
пектр
сигнала на выходе на интервале
:
.
Здесь:
– непериодическая затухающая функция
(ее искусственно размножает на всю ось),
– периодические с периодом
.
Возвращаясь во временную область,
получим:
Другая запись
.
G – некоторая периодическая
функция.
Из предыдущих размышлений:
.
На всем интервале частот:
.
Тогда выходной сигнал
Погрешность в спектральной области
(спектр ошибки моделирования):
.
Ошибка моделирования вычисляется как ОПФ:
.
.
2D-аналог:
24. Анализ точности цифровых моделей непрерывных лис-систем: оптимальная модель.
Было:
- модель в виде свертки, h
– жестко связано.
- g – не является отсчетами ИХ (не привязано к ней).
Совсем распустить g,
а определить через спектр, исходя из
того, что
.
Она в классе линейных систем лучшая (оптимальная по погрешности).
Минимизируем дисперсию ошибки:
– условие экстремума.
(дискретные
отсчеты непр. АКФ)
.
=> окончательно:
(*)
ПФ:
(***)
g - жестко привязано к Фх => для каждого сигнала нужно строить свою модель.
Чему равна минимальная погрешность:
(**) ((**)
годится для
)
.
Таким образом для оптимальной системы:
.
- дискретная свертка
- непрерывная свертка + дискретизация
2D все аналогично (просто добавляются индексы 1,2).
25. Предварительная обработка входных сигналов при моделировании лис-системы.
При моделировании получаемая погрешность часто не совпадает с реальностью. Это связано с тем, что сигнал и параметры системы при моделировании дискретные.
Если нам известно
.
Огр
Огр
Для
нет наложения в ПФ, но есть погрешность,
т.к. остаются эффекты наложения в самом
сигнале.
Необходимо урезать
до частоты
.
Суть предварительной обработки – усечение входного сигнала.
Как делают без предварительной обработки (не правильно):
Если его продискретизировали с шагом Т:
По т. Котельникова можно восстановить сигнал с помощью идеального фильтра низких частот.
Нужно уменьшить погрешность наложения в сигнале.
Т.е. необходимо посчитать все лишние хвосты, вносящие погрешность.
.
–
четная функция. Получаем
.
Отсюда можем определить шаг дискретизации,
если зададимся
или
,
и знаем Фх.
.
Как правило, получаемый таким образом шаг дискретизации очень мал.
Пусть задана некоторая верхняя частота:
Хотим задаться
.
Вычислим мощность спектральных компонент в интересующей нас полосе частот.
Если полученная погрешность нас не устраивает, то тут нужна предварительная обработка.
Формируется предварительное дискретное представление сигнала.
Продискретизировав сигнал с шагом его
с шагом
и получив периодический ЭС сигнала,
обнуляем все его компоненты, отстоящие
больше чем на
.
Наложения в таком сигнале уже меньше.
Ошибка такого представления сигнала:
.
.
Появляется еще один параметр То, вычислить его можно, зафиксировав остальные.
Оценка относительной погрешности для кругового усечения (случай 2D).
Появилось несколько шагов дискретизации:
Т – связан с
.
То – первичный шаг дискретизации
Твых – размер датчика
Это верно для
Твых – навязан.
То, Т – рассчитываются. Их соотношение желательно сделать целочисленным, для удобства реализации.
Погрешность моделирования должна быть не заметна на фоне др.погрешности, например, погрешности шумов.
Эффект от предварительной обработки –экономия объема данных (примерно в 100 раз).