28. Общая схема расчета параллельно-рекурсивных ких-фильтров

При конструировании параллельно-рекурсивного КИХ-фильтра необхо­димо решить три задачи:

- выбрать размеры окна обработки и класс базисных функций разложения (8.5) или (8.15);

- из полного множества базисных функций выбранного класса выделить фактически используемые в разложении К функций;

- рассчитать коэффициенты фильтра.

Первая задача может быть решена эвристически. Вторая и третья — ре­шаются одновременно, в ходе переборной процедуры численных расчетов.

Выделенное подмножество из К базисных функций должно обеспечивать как можно более высокую эффективность обработки сигналов. Для определе­ния наилучшего подмножества в общем случае нужно перебрать все возмож­ные сочетания по К базисным функциям в их полном множестве, вычислить для каждого сочетания некоторый показатель качества R и найти вариант, соответствующий максимальному значению показателя. Однако такой пере­бор оказывается практически неосуществимым из-за чрезмерного объема не­обходимых вычислений.

Наиболее просто было бы заранее ввести некоторое упорядочение базис­ных функций (например, для базиса Фурье — по возрастанию «частотного индекса») и использовать первые K функций из упорядоченного набора. Но, во-первых, не всегда удается указать «естественный» порядок следования функ­ций (для прямоугольного базиса, в двумерном случае и т.д.), и, во-вторых, выбранное подмножество может оказаться весьма далеким от оптимального.

Для выбора базисных функций можно использовать субоп­тимальный метод последовательного присоединения («селекции вперед»), широко применяемый для выделения подмножества признаков в задачах рас­познавания образов. Согласно ему, сначала выбирается единственная функ­ция, обеспечивающая максимум показателя качества, затем к ней присоеди­няется еще одна, максимизирующая показатель в паре с уже выбранной, и так далее до получения набора из К функций. (Для базиса Фурье в варианте с попарной реализацией звеньев процедура модифицируется: на каждом шаге добавляется не по одной, а по группе функций, связанных одинаковыми зна­чениями индексов.) Данный метод резко сокращает вычислительные затраты по сравнению с полным перебором при незначительной потере оптимально­сти формируемого подмножества базисных функций.

Как следует из сказанного выше, для каждого анализируемого подмноже­ства базисных функций требуется рассчитывать показатель качества обработ­ки сигналов, а для окончательного варианта подмножества - и коэффициен­ты разложения импульсной характеристики фильтра в ряд:

или для 2D:

Вектор-столбец искомых коэффициентов А — задается матричным уравнением вида

а показатель качества, максимизируемый в процессе выбора базисных функ­ций, соотношением

где В — невырожденная симметрическая матрица, С={ }, — вектор-столбец. Специфика расчета фильтра для каждой конкретной задачи заключается только в способе вычисления эле­ментов матрицы В и вектора С.

29. Расчет параллельно-рекурсивного ких фильтра при аппроксимации их лис(лпп)-системы.

Выведем соотношения, по которым рассчитываются коэффициенты разложения ИХ в задаче аппроксимации импульсной характеристики. Пусть требуется пост­роить фильтр с импульсной характеристикой h(m), которая аппроксимирует некоторую заданную импульсную характеристику . Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. Будем минимизиро­вать величину:

где w(m) — некоторая неотрицательная весовая последовательность. Подста­вим в формулу (8.85) выражение (8.5) для импульсной характеристики парал­лельного фильтра:

и приравняем нулю частные производные:

В результате получим систему линейных уравнений относительно коэф­фициентов фильтра:

в которой элементы матрицы В и вектора С вычисляются по формулам

Очевидно, решение данной системы 8.89 определяется соот­ношением (8.83). Подставив найденные коэффициенты фильтра в (8.86), не­сложно получить достигаемый минимум ошибки аппроксимации:

где R вычисляется по формуле (8.84).

В разности (8.90) первый член не зави­сит от параметров синтезируемого фильтра, поэтому уменьшение ошибки в процессе подбора базисных функций обеспечивается максимизацией показа­теля качества R. Для двумерного параллельно-рекурсивного КИХ-фильтра, аппроксими­рующего двумерную функцию , формулы (8.85), (8.89) и (8.90).модифицируются:

где w(m1,m2) — двумерная весовая функция ошибки аппроксимации