30Выражение функции распределения норм величины через ф Лапласа. Вероятность попадания значения норма св в заданный интервал, правило трех сигм.

1) Распределение N(0;1) наз-ся станд-ным нормальным..Для стандартного распред-я плотность вер-ти равна: , а ф-я распред-я .

Ф-я Лапласа и ф-я распред-я НСВ Х с параметрами связаны соотнош-м: .

2)Получим формулу д/вычисления вер-ти попадания НСВ с параметрами в задан. интервал(α;β) через стандарт-е распред-е :

3)3σ Вер-ть того, что НСВ отклоняется от своего мат.ожид-япо модулю меньше, чем ε>0, определяется формулой . Если положить , то получим .

Отсюда вытекает, что среди 10000 значений НСВ в среднем только 27 выйдут за пределы интервала . Это означает, что практически среди небольшого числа значений Х нет таких, кот. выходят за пределы указанного интервала. Правило 3-х сигм часто применяется д/грубой оценки сигма: .

31.Неравенства Маркова.

Теорема: Пусть Св Х принимает только неограниченное значение α- любое положительное число тогда вероятность того что СВ х≥0 ¥ α>0

P(x<α)≥1- (1)

Док-во т к х≥0

M(X)=

P(X≥α)≤M(X)/α

-P(X≥α)≥-M(X)/α

1-p(X≥α)≥1-M(X)/α

32.Неравенства Чебышева.

Если Х-СВ, мат. ожидание к-рой М(Х) = а, а дисперсия D(Х) конечна, то д/любого числа ε> 0 выполняются неравенства:

Док-во

Ιx-M(X)ι<E↔(X-M(X))²<E²

Введем новую СВ Y=(X-M(X))²≥0

M(X)=M(X_M(X))²=D(X)

P(X)<E²)≥1-M(X)/E²=1-D(X)/E²т к события РΙx-M(X)ι≥E противоположные то справедливо неравенство

РΙx-M(X)ι≥E)≤D(X)/E²

При неизв-ом з-не распред-я на практике при известных М(Х),D(X) участком возможных значений СВ Х считают М(Х)±3σ(Х)

33.Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева.

Лемма 2 (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию и любого

.

Следствие 2. Для любой случайной величины Х с конечной дисперсией и любого

Теорема Чебышева. Если последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , ограниченными одной и той же постоянной , то какова бы ни была постоянная

.

При доказательстве предельного равенства используется неравенство

,

которое вытекает из неравенства Чебышева.

34.Теорема Бернулли.

Если вероятность наступления событ А в каждом изn -_независ испыт постоянно то при неограниченном увеличении числа n –испытаний относит частота m/n –наступления событияА стремиться по вероятности к числу р т е для любого Е>0

<E)=1

Док-во Рассм Св Х1,Х2…..Хn где Xi–число наступлений события А в i- ом испытании

хi 0 1.

рi 1-р р .

M(X)=p D(X)=pq=c

35.Понятие о центральной предельной теореме.

Закон больших чисел устанавливает факт приближения большого кол-ва СВ к определенным постоянным однако суммарные действия СВ не ограничивается только такими закономерностями

Оказывается что совокупные действия многих случ факторов СВ приводит к определнному закону распределения а именно к норм закону распред

Теорема Ляпунова

Пусть Xi…Xn–независ Св имеющие матем ожидание M(Xi)=aibD(X)= и абсолютные центральные моменты 3-го порядка

M= тогда закон распред суммы Yn=X1….+Xn неограниченно приближается к норм закону с ростом n с мат ожиданием N( )

Т к для Св выполн все условия теоремы Чебышева то мы можем записать для них неравенство с cc-pq

P(ǀ ǀ<E)≥1-pq/nE²

P(ǀm/n-np/nǀ)<E)≥1-pq/nE²

36.Генеральная и выборочная совокупности. Дискретный вариационный ряд и его графические изображения.

Мат. Ст-ка занимается установлением закономерностей, к-рым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки стат. данных, полученных в результате наблюдений.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов. Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности.

Виды выборки: повторная и бесповторная. Выборка должна правиль-но представлять пропорции ген.сов-сти, то есть быть репрезентативной (представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем д/любого объекта вероятность попасть в выборку одинакова.

Вариационный ряд наз-ся ряд вариант расположенных в порядке возрастания вместе с соответствующими весами если изуч.ДСВ то ДВР.

Полигон –ломаная соединяющая точки плоскости с координатами (х,mi)

Кумулянта- ломаная соед точки плос-ти с корд-ми(x,mxi)

Гистограмма –для изобр.вар.рядов и имеют вид ступ фигурыиз прямоуг.с основ.=длина инт-ла и высотами=частотам.

37.Интервальный вариационный ряд и его графические изображения.

Интервальный ряд –ряд, представляющий собой выборку непрерывной случ велечины.

Для построения интер. Вар. Ряда разбивают множество значений вариант на полуинтервалы [а_к, а_к=1], т.е. проводят группировку.

Для определения оптим. велечины интервала используют формулу Стерджерса: h=(x_max-x_min)/( 1+3,332ln n).

Для графического представления интер.вар. ряда используется гистрограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основанием для которых служат частичные интервалы, а высоты – частоты или частости.