14.Редкие события. Теорема Пуассона

Ф-ла Pn(m)=(1/√npq)φ((m-np)/√npq) (2)

позволяет получать тем более близкие к точному значения Pn(m) результаты, чем больше знач. корня √npq и чем ближе знач . p и q к ½.

Если в-сть успеха р по отдельным испытаниям близка к 0 (такие события наз. редкими), то даже при большом n, но малом np (np<10) в-сти, полученные по ф-ле (2) недостаточно близки к их истинным знач. В этом случае прим. другую асимптотическую ф-лу – ф-лу Пуассона.

Теорема: Если число проводимых испытаний n достаточно велико (n>=30), а р-мало, так что λ=np<10, то

Замечание: ф-лу Пуассона исп., когда n≥10 (n≥100), а np≤10.

15.Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если число повторных независимых испытаний достаточно велико, вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится число раз, заключенное в границах [a;b], может быть посчитана по формуле:

Свойства функции Лапласа:

Функция нечетная, возрастающая

X>4, Ф(х)=1

Следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Если число повторных независимых испытаний достаточно велико, вероятность появления события А в каждом испытании постоянно и отлично от нуля и единицы, то вероятность того, что число появлений события А отклонится от произведения np не больше, чем на некоторое положительное число r по модулю, может быть посчитано по формуле

16.Понятие СВ и закона ее распределения

СВ- Величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестное заранее, но обязательно только одно (X,Y,Z), значения x,y,z

Дискретная – принимает отдельное изолированное значение, мн-во ее значений конечно

Непрерывная – может принять любое значение из некоторых конечного и бесконечного интервалов.

Чтобы дать полное описание СВ нужно указать все значения, которые она может принять и охарактеризовать, как часто она принимает каждое свое значение.

Законом распределения СВ называется связь между значениями СВ и вер-тью, с которой она принимает эти значения.

17.Дискретные СВ и их числовые характеристики

Дискретной назыв. такую СВ множество значений которой конечно или счетное.Пусть ДСВ Х может принимать зн-ия х1 ,х 2…х n . Обозначим рi =Р(Х=Хi), i=1,n. Закон распределения ДСВ задается таблицей распределения или рядом распределения:

хi х1 х2 …. хn

рi р1 р2 ..… рn

Графич.изображение ряда распределения назыв.полигоном распред. СВ. Основные хар-ки ДСВ мат.ожидание и дисперсия.

18.Непрерывные СВ и их числовые характеристики

НСВ- св которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интнрвала.

D(X)=M(X-M(X))2

σ (Х)= D(X)1/2

D(X)= M(X)2-M2(X)

19.Функция распределения св и ее свойства

Функцией распределения случайной величины Х называется функция FX(x)= P{X<x}, xR

Под {X<x}понимается событие, состоящее в том, что случайная величина Х принимает значение меньшее, чем число х

Свойства:

1)для любого xR: 0 F(x)  1

2) F(-) = limx F(x) = 0 ; F(+) = limx F(x) = 1;

3) F(x)-неубывающаяфункция, т.е.длялюбыхα,βтаких, чтоα<β :F(β) - F(α);

4)непрерывна слева

Х0 R

20.Функция распределения ДСВ

Пусть ДСВ задана табл. распред-ем,

тогда ее ф-ция распределения:

где x1<x2<…<xn<x

Графиком ф-ции распред-я д/ДСВ явл-ся кусочно-постоянная ф-ция.

Св-ва ф-ции распред-я:

1.) монотонно не убывает;

2.) непрерывна слева;

3.) limF(x)=0, limF(x)=1

x→-∞ x→+∞