21.Функции распределения нсв. Плотность распределения вероятностей и ее свойства

СВ непрерывна, если ее функция распределения является непрерывной. Закон НСВ может быть задан с помощью функции распределения

Теорема: Вер-ть того, что НСВ примет конкретное отдельно взятое зн-е равно 0.

Для НСВ:

При непрерывном распределении вер-ть попадания СВ в сколь угодно малый участок ≠0, тогда как вер-ть попадания в отдельную точку – 0. В данном случае нет смысла рассматривать вер-ть того, что СВ примет конкретное значение, но имеет смысл вычислять вер-ть того, что она примет это значение с определенной точностью.

Пл-тью распр-ия вер-тейназ-ся первая производная интегр. ф-ции распр-ния F(x):

f(x)=F’(x).

График ПР вер-тей – кривой распр-ия CВ Х.

Cв-ва ПР:

1.f(x)≥0 для люб.x – cв-во неотриц-ти.

3. -

Cв-во нормировки.

22.Математическое ожидание дсв и нсв, его свойства и геометр.Смысл

Мат. ожид-ем СВ Х наз. ∑ по всем исходам знач-й СВ Х, умн-х на их вер-ти:

В случае непр-й СВ ∑ заменяется ее обобщением

Мат. ож-м ДСВ Х, заданной рядом распред-я в общем виде (х1...хn)/(p1…pn) наз. число

М.О. НСВ с плотн-ю распр-я f(х) наз. число

Геометрический смысл М.О.: М(Х) – это абсц-са центра тяжести криволин-й трап-и, огран-ной граф-м кр. распр-я (полигоном распр-я для ДСВ) и осью ОХ.

Св-ва М.О.:

1. Если Х=С=const - СВ, приним-я пост-е знач-е С, то М(С)=С

2. М(С∙Х)= С∙М(Х), С - const

3.М(Х У)=М(Х) М(У), Х, У

4. М(Х∙У)=М(Х) ∙ М(У) – незав-е СВ

5. М(Х-М(Х))=0, где М(Х) – число при люб. Х

СВ Х - М(Х) наз. отклонением СВ Х от ее М.О.

23.Дисперсия св и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение

На практике встречаются СВ, имеющие одинак-е мат.ожидания. У одних из этих СВ откл-е от мат.ожидания – невелико, а у др. – значительнее. Для оценки меры рассеивания СВ Х около ее мат.ожидания М(Х) водят понятие дисперсии.

Дисперсией СВ Х наз-ся величина

Ср.квадратич. отклонением СВ Х наз-ся величина

Св-ва дисперсии:

1. D(X±Y)=D(X)+D(Y) – независимые СВ X,Y

2. Если X=C – СВ, принимающая постоянные значения, то D(C)=0

D(C)=M(C-M(C))2=M(C-C)2=M(0)=0

3. D(C*X)=C2*D(X)

4. D(X)=M(X2)-M2(X)

5. D(X-M(X))=D(X)

24.Биноминальный закон распределения. Мат.Ожидание и дисперсия св, распределенной по биноминальному закону

Пусть проводится n независимых испытаний. В результате каждого из которых возможны 2 исхода: А – успех с вероятностью p, или - неуспех с вероятностью q = 1-p. Тогда вероятность числа m успех в n испыт.

Дискретная случайная величина X, которая может принимать только целые неотрицательные значения

0,1…n с вероятностями

P(X=m)= , где p>0, q>0, m= 0,n p+q=1, называется распределенной по биноминальному закону с параметром p.

Данное определение корректно, тк

Мат.ожидание

M(x)=np

Дисперсия

- среднее квадратическое отклонение