1. Элементы комбинаторики, размещения, перестановки, сочетания.

Упорядоченное множество – это множество с заданным порядком следования элементов.

Правило произведения: Пусто А1 можно выбрать n1 способами, а А2-n2 способами, А3-n3. И пусть n-кол-во наборов из S элементов(а1,а2…аS), тогда n=n1*n2…*nS

Правило суммы: Пусто А=(а1,а2…аN)

Размещение из n по k: называется любой упорядоченный набор из K элементов множества А.

Перестановка –размещение из n элементов по n

Сочетания из n по k– любой неупорядоченный набор из k элементов множества А 2.Случайные события Вер-ть:стат определение

Опыт(испытание)- осуществление заданного комплекса условий, исход испытания – событие(A,B,C)

Случайное-событие А, которое может произойти, может нет. Пусть в связи с некоторым опытом G, нас интересует наступление некоторого случайного события А. Произведем n испытаний. Пусть А произошло m раз. M-частота события А. -относительная частота. Есть события, относительные частоты которых обладают некоторой устойчивостью: при большом количестве испытаний они стабилизируются около некоторого постоянного случайного числа р, которое называется вероятностью события. 0<=p<=1

3.Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности

w-возможные исходы опыта G называются элементарными событиями, если их нельзя разложить на составляющие их события. Эти события взаимоисключающие и в результате ровно 1 из них точно произойдет. Сов-ть всех элементарных событий w данного опыта G называется пространством элементарных событий Ω

Классической схемой называется опыт G, при котором кол-во элементарных исходов конечно и все они равновозможны. Благоприятное – если наступление w ведет к наступлению А.

Вероятность- отношение числа m элементарных событий к числу n всех элементарных событий в этой схеме..

4.Геометрическая вероятность. Задача о встрече

В случае бесконечного кол-ва равновозможных элементарных исходов опыта Gпространство элементарных событий можно представить в виде некоторого множества Ω в пространстве RПри этом элементарные исходы есть точки заполняющие мн-во Ω, тогда любому событию А соответствует некоторое подмножество мн-ва Ω.

Вер-ть(геометр) – называется отношение меры мн-ва А к мере мн-ва Ω(в виде квадрата ед.площади)

Р(А)=S(A)=V(A)

Задача о встрече:

2 студента договорились встретиться. Каждый из них приходит в течение 1 ч. и ждет 20 мин. Какова вероят. их встречи?

Опишем пр-во эл. соб.: Пусть x- время прихода 1 студ., y- время прихода 2-го студ.

Тогда 0≤x≤1ч. и 0≤y≤1ч.; в кач-ве Ω м. рассматривать квадрат. Событие А={студ.встретятся}={|x-y|<1/3}

|x-y|<1/3 ‹=› -1\3<x-y<1\3

y=x+1/3 y=x-1/3

P(A)=S(A)/S (Ω)=1-2\3*2\3=5\9

5.Действия над событиями. Диаграммы Венна.

Пусть некоторому опыту G соот-т простр-во элем-ых событий Ω, кот. изображ-ся в виде квадрата един-й площади. Вводимые далее действия над событиями м/представить также как операции над множ-ми и проиллюстр-ть с помощью диаграмм Венна.

Будем говорить, что соб. А влечет за собой соб.В, если из наступления А следует наступление В.( ; )

Суммой(объединением) соб.А и В наз. такое соб. С, кот. происходит т. и т.т., когда происх-т по крайне мере 1 из соб-й А и В.( )

Разностью соб. А и В наз. соб. С, кот. происходит т. и т.т., когда А происх-т, а В не происх-т.(С=А-В; С=А\В)

Произведением(пересечением) соб.А и В наз. С, кот. происходит т. и т.т., когда происходит А и В. (С=А*В; С=А∩В)

Соб. А и В наз. несовместными (не пересекающимися), если они не могут произойти одновременно, т.е. А*В=ǿ

Соб. В наз. противоположным к соб.А (дополнительным к А)[В= Ă], если оно происходит т. и т.т., когда А не происходит.(В=Ă)В рез-те опыта G 1 из 2-х соб-й А и Ă обязательно произойдет и эти события не совместны.( А+Ă= Ω; А*Ă= ǿ)

Говорят, что соб-я образуют полную группу(попарно несовместных) событий если: а)в рез-те G одно из них обязательно произойдет ; б) любые 2 из них не м/произойти одновр-но( ¢