6. Теорема сложения вероятностей. Вер-ть разности двух событий

Пусть нек-ому опыту G соотв-т простр-во элемент-ых соб. Ω; , кот-ое будем изобр-ть в виде квадрата единичной площади. P(A)=S(A).

1.Теорема сложения вер-ей

Вер-ть суммы 2-х соб. равна сумме вер-ей этих соб. без вер-ти их произведения.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Следствие:

1)для несовместных событий: P(A+B)=P(A)+P(B);

2)для полной группы соб. H1,+,Hn: P(H1+…+Hn)=P(Ω)=1

3)сумма вер-ей противополож. соб. Равна 1: P(A)+P(Ā)=1; P(A)=1-P(A)

2.Вероятность разности 2-х соб.

P(A-B)=P(A)-P(AB)

7.Вероятность противоположного события. Связь между вер-ми событий из полной группы

8.Условная вероятность.Теорема умножения вероятностей для двух событий

Условная вероятность события А при условии В равна - Вероятность события А вычисленная при условии, что В уже произошло

Р(А/B)=P(A*B)/P(B), Р(В)>0

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)*Р(А/В). В частности для независимых событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В), т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

9.Теорема умножения для произвольного числа событий. Независимые события и их свойства

Вероятность совместного наступления nсобытий равна произведению вероятности одного из них на вероятности остальных, вычисленная при предположении, что все остальные уже наступили

Р(А1*А2…Аn)=Р(А1)*Р(А2/А1)* Р(А3/А1*А2)* Р(Аn/A1*A2*An-1)

Здравый смысл подсказывает, что если события А и В происходят независимо друг от друга, то наступление события В не называет вер-ти события А – независимые события

Р(А/В)=Р(А)

З(В/А)=Р(В)

10.Полная группа попарно несовместных событий.Формула полной вероятности

Набор событий Н1, Н2,…,Нnназывается полной группой событий, если они попарно несовместны и их сумма составляет достоверное событие Н1+Н2+Нn=Ω

Формула полной вер-ти: пусть события Hi,i=1,nобразуют полную группу событий (Р(Нi)>0) и событие А может произойти с одним и только с одним из этих событий. Тогда вероятность события А равна

11.Формула Байеса

пусть события Hi,i=1,nобразуют полную группу событий (Р(Нi)>0). И если событие А произошло, то вероятности гипотез Hi,i=1,n вычисляются по формуле Байеса

Где Р(А), вероятность события А, вычисленная по формуле полной вероятности.

12.Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов

Ряд классических распределений связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания. Последовательные события называют независимыми, если вер-ть осуществления любого исхода в n-м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний Пусть проводится n независимых испытаний, в результате каждого из к-ых возможны 2 исхода: 1-может произойти событие А(успех) с вер-тью р или 2-не произойти событие А с вер-тью q = 1-p. Пусть X – число успехов в n испытаниях, тогда справедлива ф-ла Бернулли:

Число наступлений события А называют наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое кол-во раз. Оно заключено между числами np-qи np+p: np-q<=m0<=np+p

Если np-q– целое число, то наивероятнейших чисел два np-qи np+p

13.Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна p (p0, p1), а число испытаний достаточно велико, то справедлива формула:

,где

малая функция Лапласа

Замечание: формула 2 исп, когда n10, np>10