46. Условия монотонности функции.

Теорема 1. Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда имеют место следующие импликации:

⇒ ⇒ , (1)

⇒ ⇒ , (2)

⇒ ⇒ , (3)

⇒ ⇒ . (4)

⇒ ⇒ , (5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что (5) следует из (2) и (3). Следовательно нужно доказать лишь (1)-(4).

Левые импликации в (1)-(5) доказываются на основе формулы конечных приращений Лагранжа. Выберем произвольные точки . По теореме Лагранжа найдется такая точка , что

Отсюда, в частности, следует, что если , то . В силу произвольности выбранных точек , это означает, что функция возрастает на . Таким образом, доказана левая из импликаций (1). Аналогично доказываются левые импликации в (2)-(4).

Правые импликации в (1)-(4) доказываются на основе определения производной. Пусть, например, функция возрастает на . Тогда для любого и любого такого, что имеем

.

Переходя здесь к правостороннему пределу в точке , по теореме о предельном переходе в неравенстве получим

.

Так как выше точка была выбрана произвольно, то это означает, что имеет место правая из импликаций (1). Аналогично доказываются правые импликации в (2)-(4) □

47. Условия экстремума функции.

Теорема 1. Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней локальный экстремум, то либо функция не дифференцируема в точке , либо

(1)

Определение 1. Если дифференцируемая в точке функция удовлетворяет условию (1), то эта точка называется стационарной точкой функции .

Теорема 2 (достаточное условие локального экстремума в терминах первой производной). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , непрерывна в самой точке и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. Тогда если при “переходе” через точку “слева на право” производная меняет знак с плюса на минус, то в точке функция имеет локальный максимум. Если же при таком переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке она имеет локальный минимум. Наконец, если при переходе через точку производная не меняет своего знака, то в этой точке нет локального экстремума.

Теорема 3 (достаточное условие локального экстремума в терминах высших производных). Пусть функция раз дифференциркема в точке ( ). Тогда если

(2)

и , то при нечетном в точке нет локального экстремума, а при четном есть, при этом в последнем случае (т.е. при , ) если , то в этой точке она имеет локальный максимум, а если , то она имеет в ней локальный минимум.

48. Условия выпуклости функции

Определение 1. Функция называется выпуклой (соотв., вогнутой) на промежутке , если для любых и любых таких, что имеет место неравенство: (соотв., ).При этом, если это неравенство является строгим при и , то функция называется строго выпуклой (строго вогнутой).

Лемма 1. Для того, чтобы функция была выпуклой (строго выпуклой) на промежутке необходимо и достаточно, чтобы для любых таких, что , выполнялось неравенство (соответственно, )

Теорема 1 (критерий выпуклости функции в терминах первой производной) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция была выпуклой (строго выпуклой) на нем необходимо и достаточно, чтобы её производная была неубывающей (соответственно, возрастающей) на интервале функцией.

Следствие. Для того, чтобы дважды дифференцируемая на интервале функция была выпуклой на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы .Если же , то этого достаточно, чтобы функция была строго выпуклой на интервале .

Теорема 2. Дифференцируемая на интервале функция является выпуклой на нем тогда и только тогда, когда ее график всеми своими точками лежит не ниже любой проведенной к нему касательной. В свою очередь для строгой выпуклости дифференцируемой на интервале функции необходимо и достаточно, чтобы все точки ее графика лежали выше любой проведенной к нему касательной за исключением самой точки касания

49. Точки перегиба графика функции.

Опр 2. Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Если существует такое , что на интервалах и функция имеет разные Направления выпуклости, т.е. на одном из них она выпукла, а на другом, напротив, вогнута, то точка ее графика называется точкой перегиба.

Если точка является точкой перегиба графика дважды дифференцируемой в точке функции ,

Таким образом, условие

(10)

является необходимым для того, чтобы точка была точкой перегиба графика дважды дифференцируемой функции .

если на некотором интервале слева от точки вторая производная имеет один знак, а на соответствующем интервале справа от этой точки она имеет другой знак, то этого достаточно для того, чтобы точка была точкой перегиба