18. Локальные свойства функций имеющих предел.
Определение
1. Пусть
функция
определена на множестве
и
– некоторое его подмножество (
).
Говорят, что функция
ограничена (соотв., ограничена сверху
или снизу) на множестве
,
если его образ
есть ограниченное (соотв., ограниченное
сверху или снизу) множество.
Теорема
1
(о
локальной ограниченности).
Пусть
функция
определена на множестве
и
- точка сгущения этого множества. Тогда
если существует предел
,
то
существует такая окрестность
точки
,
что функция
ограничена
на множестве
.
Ниже
знак числа
обозначается через
.
Теорема
2
(о
стабилизации знака).
Пусть
функция
определена на множестве
и
- точка сгущения этого множества.
Тогда если существует отличный от
нуля предел
|
|
,
то
в некоторой проколотой окрестности
точки
функция
имеет тот же знак, что и этот предел:
точнее, существует такая окрестность
точки
,
что
16. Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности
Числовой
функцией или функцией одной (вещественной)
переменной называется отображение
,
область определения которой есть
числовое множество, т.е.
.
Пусть
и
– окрестность точки
.
Множество
далее будем называть проколотой
окрестностью
точки
.
Определение
1. Точка
называется точкой
сгущения
или
предельной
точкой
множества
,
если в любой ее проколотой окрестности
имеется хотя бы одна точка этого
множества, т.е. если для любой окрестности
точки
Æ.
Определение
2 (предела
функции по Коши).
Пусть функция
определена на множестве
и
– точка сгущения этого множества. Число
называется пределом
функции
при
или, также, пределом
функции
в
точке
,
если для любого
существует такое
,
что для любого
,
удовлетворяющего неравенствам:
|
|
имеет место неравенство
|
(2) |
Определение 2’. Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любого существует такое , что
.
.
Определение
3 (предела
по Гейне).
Пусть
функция
определена на множестве
и
– точка сгущения этого множества. Число
называется пределом
функции
при
или, также, пределом
функции
в точке
,
если для любой последовательности
последовательность
сходится и
|
(3) |
.Теорема 1. Определения предела функции по Коши и по Гейне равносильны.
Теорема
2.
Если функция
имеет предел в точке
,
где
– точка сгущения множества
,
то этот предел единственный
Теорема
3 (об
арифметических свойствах предела
функции). Пусть
функции
и
определены на множестве
и
- точка сгущения этого множества. Тогда
если существуют пределы
и
,то
существуют и пределы
,
,
,
(последний
при дополнительном предположении, что
и
),причем
а)
,
б)
(теорема
о пределе суммы и разности),
в) (теорема о пределе произведения),
г)
(теорема о пределе частного).
Теорема
4
(о предельном переходе в неравенстве).
Пусть
функции
и
определены на множестве
и
- точка сгущения множества
.
Тогда если
и
существуют пределы
и
,
то
.
Теорема 5 (принцип двух милиционеров). Пусть функции , и
определены
на множестве
и
- точка сгущения множества
.
Тогда если
и
существуют равные между собой пределы
и
,то
существует и равный им предел
,т.е.
.
20. Односторонние пределы.
Пусть задана функция и точка . Рассмотрим множества
и
.
Определение
1.
Пусть
- точка сгущения множества
.
Если
такое, что
,
удовлетворяющего неравенствам
имеет
место неравенство
.
то число
называется левосторонним
пределом функции
в точке
или также пределом
функции
в
точке
слева.
Определение
2.
Пусть
- точка сгущения множества
.
Если
такое, что
,
удовлетворяющего неравенствам
имеет
место неравенство
то число
называется правосторонним
пределом
функции
в
точке
,
или также пределом
функции
в
точке
справа
Теорема
1.
Пусть
,
и
–
точка
сгущения
каждого из множеств
и
.
Тогда,
если существуют равные между собой
односторонние пределы
и
,
то
существует и равный им двусторонний
предел
=
=
.