10. Число e.

■Этот предел обозначают буквой e и называют числом e.

Лемма 1. Для любого и любого справедливо неравенство (1)(неравенство Я. Бернулли)

Лемма 2. Существует предел .

Доказательство. Рассмотрим сначала последовательность , Используя неравенство Бернулли, при будем иметь:

(здесь ³ получено из (1) при ). Таким образом, и следовательно , то есть последовательность - убывающая.Кроме того, очевидно, что последовательность положительная . Следовательно, она ограничена снизу. Поэтому существует предел Возвращаясь к интересующей нас последовательности , ,видим, что .Поскольку существуют пределы: и ,то по теореме о пределе произведения последовательностей существует и предел , т.е. предел ■

Замечание 2. Этот предел обозначают буквой e и называют числом e. Можно доказать, что число e иррациональное. В настоящее время оно вычислено с большей степени точности в частности, в пределах первых пятнадцати знаков после запятой

e = 2,718281828459045…

11. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если

.

Теорема 1. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Определение 2. Если для любого вещественного числа E $N:x_n > E "n > N(соотв., x_n < E "n > N ),то говорят, что последовательность имеет своим пределом , и пишут или .

Определение 3. Последовательность такую, что , называют бесконечно большой и пишут (символ ¥ употребляется без знака).

Теорема 2. Если последовательность - бесконечно большая и то - бесконечно малая последовательность

Теорема 3. Если - бесконечно малая последовательность и при n = 1,2,…, то последовательность -бесконечно большая.

12. Лемма о вложенных отрезках.

Лемма. Для любой последовательности вложенных отрезков ,

( ),

их пересечение

непусто

Более того, если длины этих отрезков стремятся к нулю , то это пересечение состоит из одной точки.

15. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Определение 1. Последовательность называется фундаментальной, если для любого найдется такой номер , что при всех выполняется неравенство (1)

Последовательность называется фундаментальной, если для любого найдется такой номер , что и справедливо неравенство (1')

• Теорема 1. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.

Док-во: Пусть фиксировано некоторое , тогда существует такой номер N, что при n,m > N выполняется неравенство (1). Возьмем m = N + 1, тогда при n > N и, следовательно, .

то есть все члены последовательности при n > N ограничены числом .

Положим .Очевидно, при всех , то есть последовательность ограничена□

• Теорема 2 (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.