39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.

Теорема 1 (теорема Ролля). Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения :

(1)

Тогда существует такая точка , что

.

(2)

□Теорема 2 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале .Тогда найдется такая точка , что

.

(5)

.Теорема 3 (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Тогда _:

(6)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию

Она, очевидно, удовлетворяет условию теоремы Ролля, согласно которой , т.е.

что равносильно равенству (6)□