§1. Области в п-мерных пространствах.

Определение 1. Rⁿ- называется множество элементов, называемых в дальнейшем точками  декартовому пространству.

Определение 4. Точка Q называется внутренней множества М, если есть открытый шар с центром в Q, что все точки PS_E(Q)M.

Определение 5. Точка Q называется внешней множества М, -«-, что все точки PS_E(Q)M.

Определение 6.точка–граничная, если  открытый шар с центром в Q как точкуМ, так и точкуМ

Определение 7. Множество М называется односвязным, если  две точки этого множества могут быть соеденины отрезками прямых либо частичными непрерывными дугами параметрически заданных кривых, целиком лежащих в этом множестве.

Определение 8. Множество М представляет изсебя область, если на нем определены понятия внутренних, граничных и внешних точек и определено понятие связности.

Определение 9. Область называется замкнутой, если множество граничных точек  данной области и называется открытым или незамкнутым, если множество граничных точек  рассматриваемой области.

§2. Понятие функции в п-мерных пространствах.

Определение 1. Пусть имеется область в п-мерном пространстве(D C R^{^}). Говорят тогда что на D определена функция п независимых переменных или функция п-мерной точки, если  точке(х₁, х₂,…, х_п)D по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие единственное конкретное значение числовой переменной у и при этом: 1) область D называется областью определения функции; 2) координаты п-мерной точки называются независимыми переменными; 3) числовая переменная у называется значением функции; 4) то, что функция задана записана в виде f:y=f(p), y=f(x1, x2, …,xn), D(f).

Определение 2. Функция точки называется заданной аналитически, если правило или закон представляют из себя формулу или аналитическое выражение содержащее соответствующие независимые переменные и при этом и при этом множестве в соответствующих пространствах для которых указаные формулы или аналитические выражения имеют смысл называется естественной областьб определения.

§3. Предел и непрерывность функции нескольких действительных переменных.

Определение 1.пусть f:y=f(р). А называется пределом значений функции окрестности точки Р₀, если из принадлежности точки РU_E(P₀)f(P)-A< и при этом E, =(Е,Р₀).

Определение 4. Частным приращением функции по независимой переменной x_i называется разность f(x₀₁, x₀₂, x_i, x_i+1,…,x_n0)-f(x₀₁, x₀₂, …,x_i0,…,x_n0)=∆x_if(P₀). P₀(x01,x02,…,xn0) x_i-x_i0=∆x_i.

Определение 5.Функция f:y=f(р) называется непрерывной в точке P₀, если lim∆f(P₀)=limf(P)-f(P₀)=0.

Определение 7. Функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она непрерывна в этой области.

Билет Ш(2).

§4. Дифференцируемость функций нескольких действительных переменных.

Определение 1. F:y=f(р) называется диф-ой в точке Р₀, если ∆f(P₀)=(i=1)(n)A_i(x_i-x_i0)+(∆). (i=1)(n)A_i(x_i-x_i0)(i=1)(n)A_i∆x_i-линейная относительно ∆х_i часть приращения A_i – некоторого фиксированного числа. (∆)-б.м. более высокого порядка малости относительно ∆. ∆=Р₀Р.

Если функция диф-ма, то одно слагаемое называется главной или линейной частью приращения или полным дифференциалом функции df(P₀)= (i=1)(n)A_i∆x_i.