§7. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема об инвариантности формы 1-ого дифференциала.

Определение 1. F:y=f(x) второй производной этой функции или производной второго порядка нзывается производная от первой производной этой функции, если она . .

Определение 2. Производной п-ого порядка или п-ой производной называется производная от производной п-1 порядка, если она : y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’.

Определение 3. Вторым дифференциалом функции или дифференциалом 2-ого порядка называется дифференциал дифференциал от дифференциала первого порядка, если он . D[dif]=d²f.

Определение 4. Аналогично 2-ому определению.

Теорема об инвариантности формы 1-ого дифференциала.

Форма первого дифференциала не зависит от того, является ли переменная х независимой или промежуточной, 1-ый диф-л всегда может быть представлен df=f_x’dx.

Док-во. Пусть f:y=f(x) ч- независимая переменная.  по теореме диф-ла df=f_x’dx.

2) пусть f:y=f(x), x=(t)  по правилу диф-ния сложных функций  . Замечание 2. Нетрудно показать что инвариантность формы диф-лов высших порядков не имеет места. Все диф-лы зависят от того, является лихнезависимой либо промежуточной переменной; если х есть независимая переменная, тогда d²f=f’’(dx)²=f’’d²x.

Билет II(7).

§8. Диф-ные теоремы о среднем. Формула конечных приращений.

Теорема Ферма.

Пусть f:y=f(x) в точке х₀ из области определения функции достигает своихлибо наим. либо наиб. значений, тогдаесли функция диф-ма в окрестности указанной точки, то f’(x₀)=0.

Док-во. Пусть для определенности в точке х₀ функция достигает своего наиб. значения. Тогда, по определению для  хU(x₀)<D(x). F(x)-f(x₀)0  U_t(x₀)  x-x₀=∆x>0  (∆x0, x>x₀). (сам для ∆х0, x<x₀, будет –0/-00). Так как по условию теоремы функция диф-ма в точке, то f’(x₀), но   правосторонний и левосторонний пределы, равные между собой: f’(x₀) f₊’(x₀)=f’(x₀).

Теорема (Ролль).

Пусть f:y=f(x), 1)fC_[a,b]; 2) fC¹_(a,b); 3) f(a)=f(b)   x=c: f’(c)=0.

Теорема (Лагранж).

F:y=f(x). 1) fC_[a,b]; 2) fC¹_(a,b).   x=c такое, что f’(x)= .

Теорема Коши. Пусть имеются f(x), g(x). 1)f, gC_[a,b]; 2) f,gC¹_(a,b). x=c, что .

§8. Формула конечных приращений.

∆f(x₀)=f’(x₀+∆x)∆x, 0<<1 – формула конечных приращений.

Билет II(8).

§9. Правила Лапиталя.

Теорема 1. Пусть в окрестности точки Адля отношения функций (xa), тогда, если в окрестности точки Афункции f и g удовлетворяют условию теоремы Коши из-ия lim (xa), следует существование предела отношения функций и при этом lim (xa)=lim (xa).

Док-во. По условиютеоремы f(a)=g(a)=0, а так как в окрестности точки А выполнены условия теоремы Коши, то для  а, в найдется такое значение х=, что будет иметь место . Если ba  a. Меняя в записанном выражении b=x lim =lim , если lim .

Теорема 2. Если в окрестности точки А имеется неопределенность вида , (xa).

Билет II(9).

§10. Ф-ла Тейлора.

Теорема. Если в окрестности точки х₀ функция f:y=f(x) непрерывно дифференцируема до п-того порядка включительно, то вокрестности этой точки функция f(x) может быть представлена и при том единственным образом в виде формулы Тейлора п-того порядка, которая имеет вид: f(x)=f(x₀)+ *(∆x)^k+(∆ⁿx).

Док-во. Первые два слагаемых формулы представляют собой полином п-того порядка относительно переменной х=х-х₀, который называется полиномом Тейлора для функции f(x₀). Докажем, что такой полином всегда может быть построен единственным образом.

Пусть есть полином P_n=a₀+a₁(x-x₀)¹+a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ, a_k – неизвестные. Полином считают заданным, если известна его степень и указаны коэффициенты  чтобы определить полином Тейлора, достаточно указать правило, по которому будут вычеслены коэффициенты a_k. Так как функция диф-ема до п-того порядка включительно, потребуем, чтобы значение функции в х₀ совпадало с 0 значением полинома.

f(x₀)=P_n(x₀) и для  значения к=1, 2, …, п f^(k)(x₀)=P_n^(k)(x₀). Из 1-го условия a₀=f(x₀)

P_n’(x₀)=a₁*2a₂(x-x₀)+…+na_n(x-x₀)^n-1. K=1a₁=f’(x₀).

P_n’’(x₀)=2a₂+…+n(n-1)*a_n(x-x₀)^n-2. K=2 a₂=f’’(x₀)/1*2 k=n, a_n= .

F(x)-T_n(x). T_n(x) – построенный полином Тейлора. F(x)-T_n(x)=R_n(x). последовательно получим: lim =∆x. (∆x0, xx₀). (∆x0). =lim  R_n(x)=f(x)-T_n(x):=(∆ⁿx).

Билет II(10).