- •5. Классическое определение вероятности:
- •6. Геометрическая вероятность.
- •7.Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
- •8. Условная вероятность. Теорема произведения вероятностей зависимых событ.
- •9.Формула полной вероятности.
- •10.Формула Байеса.
- •12.Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли.
- •20Дисперсия
- •Случайные величины и законы их распределения
- •29.Неравенство Чебышева.
- •18.Математическое ожидание функции одного случайного аргумента.
- •[Править] Свойства независимых случайных величин
10.Формула Байеса.
Предположим, событие А произошло. Какизменятся при этом вероятности гипотез P(AB)=P(A)*P(B/A), P(AB)=P(B)P(A/B), P(AHi)=P(A)P(Hi/A)=P(Hi)P(A/ Hi). Следовательно P(Hi/A)= , i = .Заменив по формуле P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+…+P(Hn)P(A/Hn) получим P(Hi/A)= .
Эти формулы называют формулами Байеса. Они позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
12.Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли.
Пусть производится серия из n независимых испытаний и в каждом испытании событие А наступает с одной и той же вероятностью P(A)=p и не наступает с вероятностью . Условно появление события А называется «успехом», а не появление - «неудачей». Испытания называются независимыми, если исход каждого последующего не зависит от исходов предыдущих испытаний. Последовательность независимых испытаний такого рода называется схемой Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет ровно m раз – Pn (m). Тогда имеет место формула Бернулли: Pn (m)= .
Доказательство: Рассмотрим серию из n испытаний, в которых событие А произошло m раз: .Вычислим вероятность этого
произведения: P ( = =pmqn – m . Pn (m)= .
20. СВ. Дискретные СВ называют величину, кот. в результ. исп. принимает то или иное значение из множества своих знач., причем неизв. какое.
Дискретные СВ назовём СВ мн-во знач-й кот. конечно и счетно (х1,х2,…,хn)
Обозн. СВ Х, У, Z, а их значения х,у, z Вер. того, что Х приняло знач. х обозн. Р(Х=х).
Законом распр. ДСВ (Х) наз. соответствие м/д знач. случ. величины и вероятностями, с кот. она принимает эти знач-я, причем оассм. все возможные значения этой величины (СВ).записывают в виде таблиц
Х |
х1 |
х2 |
… |
хn |
Р |
p1 |
p2 |
… |
pn |
х1<x2<…<xn, т.к. это все возможные знач. ДСВ(Х), то соб. Х=х1, Х=х2…Х=хn, то соб. образ. полную группу (сис-му). р1+р2+…+рn=1эта ф-ла прим. для контроля правильности построения закона распр. ∑Pn=1.
Возьмем прямоугольную систему коорд. По оси х отложим знач. СВ Х, а по оси у- вер. этих знач. Соседние точки (хi,pi) cоед. отрезками, тогда получ. фигуру, кот. наз. полигоном распределения СВ.
17. Ф-я F(х) наз. ф-я распр. СВ Х, если F(х)=р (Х<х) для всех хє(-∞;+∞)
Х<х означ. -∞<X<x, т.е. ф-я распр. поках. вер. попадания СВ Х на интервалм(-∞;х) левее точки х. Св-ва ф-ции распр:
0≤ F(х)≤1. F(х)=Р(Х<х) ≥0
F(х)-неубывающая. х1<x2, F(х1)≤ F(х2)
A={x<x1} B={x1≤x<x2} C={x<x2} C=A+B AиB- несовм. По теор. слож. им.
Р(С)=P(A)+P(B)= P(X<x1)+P(x1≤x<x2)
P(C)= P(X<x2)=F(x2)
P(X<x1)=F(x1)
P(x1≤x<x2)=F(x2)- F(x1)≥0
F(x2)≥ F(x1) x2>x1
Вер. попадания СВ на полуинтервал х=[x1,x2] P(x1≤x<x2)= F(x2)-F(x1)
F(-∞)=0 F(+∞)=1 F(-∞)=lim F(x) F(+∞)=lim F(x) Док-во F(x)=P(X<x), F(-∞)=P(x<-∞)=P()=0, F(+∞)=P(x<+∞)= P(-∞<x<+∞)=P(Ω)=1. 5. F(x)-непрерывна слева, limx→x0-0F(x)=F(x0)
32.Если рассматривается последовательность независимых случ.величин имеющих
M(xi)=a D(xi)=б2 M(xi-a)3)=m
Тогда при неограниченном увеличении числа n x1+x2+x3+…+xn-стремится к нормальному распределению.