20Дисперсия

Если мат. ожидание-характеристика положения СВ, то дисперсия-характеристика разброса отклонения СВ от её мат. ожидания.

СВ Х-М(Х) наз. отклонением СВ Х от её мат. ожидания.

ТЕОРЕМА: Мат. ожидание отклонения равно 0.

ДОК-ВО: М(Х-М(Х))=М(Х)-- М(М(Х))=М(Х)--М(Х)=0, ч.т.д.

Дисперсией D(Х) СВ Х наз. мат. ожидание квадрата отклонения

D(Х)=М(Х-М(Х))²

ТЕОРЕМА: D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²

ДОК-ВО: D(Х)=М(Х²-2ХМ(Х)+(М(Х))²)=М(Х²)-2М(Х)М(Х)+М(М(Х))²=М(Х²)-2(М(Х))²+(М(Х))²=М(Х²)-(М(Х))²

Св-ва дисперсии:

• D(C)=0, где С=const

• Постоянный множитель выносится за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат

D(СХ)=С²D(Х)

• Если Х и У независ. СВ, то

D(Х±У)=D(Х)+D(У)

Х₁,Х₂,Х₃,…,Х_п – независ. величины

D(Х₁+Х₂+Х₃+…+Х_п)=D(Х₁)+D(Х₂)+…+D(Х_п)

Замечание: D(Х)≥0

СР. КВАДРАТИЧ. ОТКЛОНЕНИЕ

Положительное значение √D(Х)=σ(Х)

Если СВ Х измерена в некот. единицах, то мера разброса D(Х) будет измерена в единицах в квадрате, а мера разброса σ(Х) будет измеряться в тех же единицах, что и СВ Х.

Замечание1. Св-ва мат. ожидания и дисперсии верны также и для непрерывных СВ.

З амечание2. Если СВ Х принимает бесконечное чётное множество значений

Х	Х1	Х2	…	Хп
Р	Р1	Р2	…	Рп

_∞

тогда М(Х)=∑ х_ір_і ,причём если

^і=1

ряд сходится абсолютно, то мат. ожидание у СВ имеется, в противном случае мат. ожидание у данной СВ отсутствует

D(Х)=М(Х-М(Х))²

_∞

D(Х)=∑ (Х_і-М(Х))²Р_і ---- ряд

^і=1

сходится абсолютно.

Случайные величины и законы их распределения

Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать качественно и количественно.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение., причем заранее не известно какое именно. Случайные величины принято обозначать (X,Y,Z), а соответствующие им значения (x,y,z)

Дискретными называются случайные величины принимающие отдельные изолированные друг от друга значения, которые можно переоценить.

Непрерывными величины возможные значение которых непрерывно заполняют некоторый диапазон.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими им вероятности.

Ряд и многоугольник распределения.

Простейшей формой закона распределения дискретной величины является ряд распределения.

x	x1	x2	x3
P	P1	P2	P3

Графической интерпретацией ряда распределения является многоугольник распределения.

Функция распределения случайной величины.

Для непрерывных случайных величин применяют такую форму закона распределения, как функция распределения.

Функция распределения случайной величины Х, называется функцией аргумента х, что случайная величина Х принимает любое значение меньшее х (Х<х)

F(х)=Р(Х<х)

F(х) - иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 0<F(х)<1

2. если х₁>х₂,то F(х₁)>F(х₂)

3. 

функция может быть изображена в виде графика. Для непрерывной величины это будет кривая изменяющееся в пределах от 0 до 1, а для дискретной величины - ступенчатая фигура со скачками.

С помощью функции распределения легко находится вероятность попадания величины на участок от α до β

Р(α<х<β) рассмотрим 3 события

А - α<Х

В - α<Х<β

С - Х<β

С=А+В

Р(С)=Р(А)+Р(В)

Р(α<х<β)=Р(α)-Р(β)

Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины.

Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины Х называется функция f(х) равная первой производной от функции распределения F(х)

График плотности распределения называется кривой распределения.

Основные свойства плотности функции распределения:

1. f(х)>0

2. 

30.Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачи-вает случайный характер и становится закономерным (иначе говоря, случайные отклоне-ния от некоторого среднего поведения взаимно погашаются). В частности, если влияние на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в группе теорем, называемой законом больших чисел.