1.Случайные события. Основные понятия. Классификация событий. Диаграммы Эйлера-Венна.

Случайное событие – любой факт, который в результате осуществления какого-либо комплекса условий может произойти и не произойти.

Ω - достоверное событие, Ø – невозможное событие

А  B – А является частным случаем В или А благоприятствует В (при каждом появлении А наступает В)

А и В совместны, если они могут наступать одновременно в результате испытания

А и В несовместны, если появление одного исключает появление другого. 

Событие Ā – противоположное (дополнение) событие А, если непоявление одного в результате испытания влечет появление другого. 

Исходы H₁, H₂,…, H_n образуют полную группу событий Н, если любые события H_i и H_j (i≠j) попарно несовместны, и в результате испытания должно произойти одно из них. 2 несовместных события, образующих полную группу являются противоположными.

А и В – равновозможные, если по условиям испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным.

2. Операции над случайными событиями и их свойства. Геометрическая интерпретация действий над случайными событиями с помощь диаграмм Эйлера-Венна.

Сумма событий – это событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (ИЛИ).

Красным на диаграммах показана сумма событий А+В

А+ Ā= Ω; H₁+ H₂+…+ H_n= Ω

Произведение событий – это событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания (И).

Красным на диаграммах показано произведение событий А•В 

Для несовместных событий А•В= Ø

А• Ā = Ø;

Нi • Hj = Ø i≠j

 Разность событий В-А или В\А – это событие, заключающееся в том, что В происходит, а А не происходит.

Ā= Ω-A

Свойства:

1. Коммутативность А+В=В+А А•В=В•А

2. Ассоциативность А+(В+С)=(А+В)+С А(ВС)=(АВ)С

3. Дистрибутивность А(В+С)=АС+ВС А+ВС=(А+В)(А+С)

4. Поглощение А+А=А А+ Ω= Ω А+ Ø= А А•А=А А• Ω= А А• Ø= Ø

5. Отрицание отрицания =А

6. Формула Моргана

3. Вероятность случайного события. Различные определения вероятности. Классическое определение и область его применимости.

Вероятность события – это численная мера возможности его появления. Есть классическое, геометрическое, статистическое и аксиоматическое. Классическое определение: Вероятность Р(А) события А равна отношению числа случаев М, благоприятствующих событию А к общему числу всех возможных исходов испытания N. Р(А) = М/N. Равновозможность исходов говорит, что нужно использовать классическое определение вероятности. Также классическое определение основывается на том, что число всех возможных случаев конечно.

4. Вероятность случайного события. Различные определения вероятности. Статистическое определение и область его применимости.

Вероятность события – это численная мера возможности его появления. Есть классическое, геометрическое, статистическое и аксиоматическое. Статистическое определение: Вероятность события Р(А) – частость (относительная частота) m/n появления этого события в n произведенных испытаниях. Р(А)=w=m/n. Статистическая вероятность определяется из опыта наблюдения результатов испытания. С этой целью проводится в неизменных условиях больше число n независимых друг от друга одинаковых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться или не появиться, и фиксируется число появлений события А, обозначаемое через m.

5. Вероятность случайного события. Различные определения вероятности. Геометрическое определение и область его применимости.

Вероятность события – это численная мера возможности его появления. Есть классическое, геометрическое, статистическое и аксиоматическое. Геометрическое: Геометрическая вероятность – отношение меры области g, благоприятствующей А к мере все области G (вероятность попадания точки в область). P(g)=mes(g)/mes(G). Геометрическое определение используется, если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно. При определении геометрической вероятности полагают, что имеется область G и в ней меньшая область g с квадрируемой границей.

6. Комбинаторика. Основные понятия. Теоремы умножения и сложения комбинаторики.

Комбинаторика – раздел математики, изучающий методы решения задач на подсчет числа различных комбинаций. Основные понятия – размещения, перестановки, сочетания (с повторениями и без).

Теорема умножения комбинаторики: Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то k действий, причем 1-е действие можно выполнить n₁ способами, 2-е – n₂ способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий могут быть выполнены n₁* n₂*...* n_k способами.

Теорема сложения комбинаторики: Если 2 действия взаимно исключают друг друга, причем одно можно выполнить n₁ способами, а другое – n₂ способами, то выполнить одно любое из этих действий можно n₁+ n₂ способами.