- •1.Случайные события. Основные понятия. Классификация событий. Диаграммы Эйлера-Венна.
- •7. Основные понятия комбинаторики. Размещения. Перестановки. Их сходства и отличия. Выбор с возвращением и без.
- •8. Основные понятия комбинаторики. Размещения. Сочетания. Их сходства и отличия. Выбор с возвращением и без.
- •11. Теоремы сложения вероятностей для несовместных случайных событий (для двух случайных с доказательством)
- •15. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Частная и общая теорема о повторении опытов в случае более двух исходов испытания.
- •18. Повторные независимые испытания. Приближение биномиального распределения при большом числе испытаний к нормальному. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Условия применения
- •20. Случайные величины. Виды случайных величин. Их сходства и отличия.
- •30. Медиана. Квантили и квартили случайной величины. Их значение и интерпретация. Неоднозначность определения у дискретных св.
11. Теоремы сложения вероятностей для несовместных случайных событий (для двух случайных с доказательством)
Для двух событий: Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Доказательство: Пусть А соответствует mA , а событию В – mВ элементарных событий (случаев). Тогда А+В благоприятствует m испытаний, который в силу несовместности не пересекаются m= mA+ mВ случаев из общего числа N. Поэтому, Р(А+В) = m/N=(mA+ mВ)/N=mA/N + mВ/N = P(A)+P(B), что и тр. док.
Для любого числа попарно несовместных событий: Р(А1+ А2+…+ Аn)=P(А1)+ P(А2)+...+ P(Аn)
Следствия: 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна 1.
2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
12. Теоремы сложения для 2, 3 и n совместных случайных событий (для 2 с доказательством)
Для двух событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)
Доказательство: Событию А благоприятствует mA=mтолько А + mAB случаев, событию В mВ=mтолько В + mAB. Тогда событию А+В соответствует mA+В=mтолько А + mAB + mтолько В случаев из общего числа N. Тогда Р(А+В) = mA+В/N = (mтолько А + mAB + mтолько В)/N = (mтолько А + mAB + mтолько В+ mAB - mAB)/N = (mтолько А + mAB )/N + (mтолько В+ mAB)/N - mAB/N = mА /N + mВ/N - mAB/N = P(A) + P(B) – P(AB).
Для 3 событий: Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(ВС)-Р(АС)+Р(АВС)
Для n событий:
13. Зависимость случайных событий. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
События называются независимыми, если появление любого из них не меняет вероятности появления другого. Зависимые события – вероятности зависят от наступления и не наступления друг друга. Условная вероятность (Р(А|В)) – вероятность А, при условии, что В произошло.
Теорема умножения для независимых событий: Р(АВ)=Р(А)*Р(В)
Р() = Р(А1)* Р(А2)*…* Р(Аn)
Для зависимых событий Р(А*В) = Р(А)*Р(B|A)=P(B)*P(A|B)
Для любого конечного числа зависимых событий:
Р(А1 *…* Аn) = P(A1) * P(A2| A1) * P(A3|A1 A2)*...* P(An|A1 A2 ... An-1)
14. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Частная и общая теорема о повторении опытов в случае двух исходов испытания.
Повторные независимые испытания (испытания Бернулли) – многократные испытания, в которых вероятность появления А не меняется в зависимости от исходов других испытаний.
Частная теорема о повторении опытов: Пусть проводится n независимых испытаний в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью р появляется событие А. Вероятность того, что в n испытаниях А наступит m раз считается по формуле Бернулли:
Доказательство: Аi – появление события А в i-м испытании; Р(Аi)=p. Āi – не появление события А в i-м испытании. Р(Āi)=1-p=q. Нам требуется узнать вероятность того, что в n испытаниях событие А наступило m раз. Значит событие А должно не наступить m-n раз. По теореме умножения для независимых испытаний вероятность этого равна pm * qn-m . Также необходимо учесть число различных комбинаций наступления и не наступления события А, т.е. домножить на . Таким образом мы получаем формулу наступления А m раз в n испытаниях .
Общая теорема о повторении опытов: Пусть в n испытаниях вероятность появления А в i-м опыте равна pi , то вероятность того, что А наступит m раз равна коэффициенту при zm в разложении производящей функции