- •1.Случайные события. Основные понятия. Классификация событий. Диаграммы Эйлера-Венна.
- •7. Основные понятия комбинаторики. Размещения. Перестановки. Их сходства и отличия. Выбор с возвращением и без.
- •8. Основные понятия комбинаторики. Размещения. Сочетания. Их сходства и отличия. Выбор с возвращением и без.
- •11. Теоремы сложения вероятностей для несовместных случайных событий (для двух случайных с доказательством)
- •15. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Частная и общая теорема о повторении опытов в случае более двух исходов испытания.
- •18. Повторные независимые испытания. Приближение биномиального распределения при большом числе испытаний к нормальному. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Условия применения
- •20. Случайные величины. Виды случайных величин. Их сходства и отличия.
- •30. Медиана. Квантили и квартили случайной величины. Их значение и интерпретация. Неоднозначность определения у дискретных св.
7. Основные понятия комбинаторики. Размещения. Перестановки. Их сходства и отличия. Выбор с возвращением и без.
Размещения – упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются как составом, так и порядком следования элементов. Число размещений из n элементов по m (m<n):
Перестановки – любые упорядоченные множества, в которые входят по одному все n различных элементов исходного множества. Число перестановок из n элементов Перестановки – частный вид размещений при n=m
Размещения с повторениями – упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются и элементами, и порядком, и возможностью повтора. Число размещений с повторениями из n элементов по m считается
Перестановки с повторениями - упорядоченные подмножества, в которых элемент а1 повторятся n1 раз, а2 повторяется n2 раз,…, аk повторяется nk раз.
Сходства – и там, и там важен порядок, различия – в размещениях могут использоваться не все элементы, в перестановках используются только все элементы.
8. Основные понятия комбинаторики. Размещения. Сочетания. Их сходства и отличия. Выбор с возвращением и без.
Размещения – упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются как составом, так и порядком следования элементов. Число размещений из n элементов по m (m<n):
Сочетания – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только составом элементов (порядок их следования не важен). Число сочетаний из n элементов по m (m<n)
Размещения с повторениями – упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются и элементами, и порядком, и возможностью повтора. Число размещений с повторениями из n элементов по m считается
Сочетания с повторениями – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только элементами и возможностью повтора. Число всех сочетаний с повторениями из n элементов по m определяется по формуле:
Сходство – все m-элементные подмножества различаются элементами, различие – в размещениях важен порядок
9. Основные понятия комбинаторики. Сочетания. Их использование в теории вероятностей. Правило Паскаля и другие соотношения. Выбор с возвращениями и без возвращения.
Сочетания – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только составом элементов (порядок их следования не важен). Число сочетаний из n элементов по m (m<n)
Сочетания с повторениями – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только элементами и возможностью повтора. Число всех сочетаний с повторениями из n элементов по m определяется по формуле:
Основные формулы: ; ; .
Правило Паскаля:
10. Аксиоматика Колмогорова. Аксиоматическое определение вероятности. Алгебра событий. Поле вероятностей. σ-алгебра событий.
Аксиоматика Колмогорова – общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятностей.
Ω –множество элементов ω (элементарное событие), -множество подмножеств Ω, называемое случайным событием.
Аксиома 1. является алгеброй событий, т.е. удовлетворяет свойствам:
- содержит невозможное событие Ø
- если А ∈, то его дополнение Ā∈
- замкнутость относительно произведения, т.е. А ∈; В ∈ и АВ ∈
Аксиома 2. Каждому событию А ∈ поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р(А)≥0, которое называется вероятностью события А.
Аксиома 3. (Нормировки) Р(Ω)=1
Аксиома 4. (Аддитивности). Если А и В не пересекаются, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Совокупность (Ω; ; Р), удовлетворяющая аксиомам 1-4 называется вероятностным пространством или полем вероятностей. Алгебра событий, замкнутая относительно счетного числа теоретико-множественных операций называется σ-алгеброй событий.