2. Алгебраические структуры.
n-арная алгебраическая операция. Определение и примеры алгебр (в частности, булева алгебра множеств). Носитель, сигнатура и тип алгебры. Множества, замкнутые относительно алгебраической операции. Подалгебра. Примеры алгебр и подалгебр. Алгебра (N p; , ).
Свойства бинарных алгебраических операций: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность слева и справа. Примеры.
Однотипные алгебры. Гомоморфизм, изоморфизм, автоморфизм алгебр. Доказать, что отношение изоморфизма алгебр является отношением эквивалентности. Привести примеры изоморфных алгебр.
Полугруппы. Абелевы полугруппы. Моноиды. Примеры полугрупп и моноидов. Примеры.
Группа. Абелева группа. Образующие элементы группы. Циклические группы. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Группа биекций множества X на X. Подгруппа. Примеры групп и подгрупп.
Основные свойства группы: единственность обратного элемента, соотношения в группе, разрешимость в группе уравнения ax = b (доказать все свойства и разрешимость уравнения).
Подстановки n-ой степени. Доказать теорему Кэли: множество подстановок образует группу -- симметрическую группу подстановок n.
*Классы смежности. Нормальный делитель. Теорема Лагранжа (доказать).
Кольца. Определение и примеры колец. Кольцо классов вычетов по модулю р. Основные свойства колец. Область целостности. Делители нуля. Примеры делителей нуля и областей целостности.
Поля. Определение и примеры полей. Основные свойства полей. Доказать теорему: никакое поле не содержит делителей нуля. Поля Галуа. Привести примеры полей Галуа.
3. Графы
1. Определение графа. Вершины и ребра графа, порядок графа. Диаграмма графа. Смежные вершины и ребра графа. Инцидентность. Ориентированный граф (орграф). Дуги орграфа. Исходящие и выходящие дуги. Граф с петлями. Мультиграф. Метки графа, помеченный граф. Подграф. Примеры.
2. Степень вершины графа. Изолированные и висячие вершины. Доказать теорему Эйлера о сумме степеней вершин графа. Доказать следствие о четности числа вершин нечетной степени в мультиграфе .
3. Маршрут в графе. Замкнутый, открытый маршрут. Цепь, простая цепь, концы цепи. Цикл, простой цикл. Доказать достаточное условие существования цикла в графе. Ациклический граф. Путь и контур в орграфе. Примеры. Связанные вершины, связный граф. Доказать, что отношение связности на множестве вершин графа является отношением эквивалентности. Компоненты связности. Мост. Примеры.
4. Изоморфизм графов. Примеры изоморфных графов. Доказать, что отношение изоморфизма на множестве графов является отношением эквивалентности. Автоморфизм графов. Инварианты графа. Возможность определения графа по набору инвариантов. Примеры неизоморфных графов с равным количеством вершин и ребер.
5. Операции над графами: дополнение графа, объединение графов, пересечение графов, соединение графов, произведение графов, стягивание графа, реберный граф.
6. Нуль – граф. Полный граф Kn,. Число ребер полного графа. Платоновы графы. Формула Эйлера для правильных многогранников. Двудольный граф, полный двудольный граф Km,n; звездный граф K1,n. Сформулировать теорему Кенига о необходимом и достаточном условие двудольности графа. Регулярные графы. Кубические графы: граф K3,3, граф Петерсена. Циклические графы и колеса. Кубы.
7. Метрические характеристика графа. Длина маршрута, расстояние между вершинами, геодезическая, матрица расстояний. Эксцентриситет вершины, диаметр графа, радиус графа. Центральная вершина, центры графа. Взвешенный граф, матрица весов, вес маршрута. Примеры.
8. Способы представления графа. Матрица смежности вершин графа. Матрица инцидентности графа. Сформулировать необходимые и достаточные условия изоморфности графов, использующие матрицы смежности вершин и матрицы инцидентности. Примеры применения этих теорем.
9. Определение дерева. Сформулировать и проиллюстрировать теорему о характеристических свойствах деревьев. Доказать следствие о числе висячих вершин дерева.
10. Помеченные графы. Равенство помеченных графов. Подсчитать непосредственно число помеченных деревьев с 3, 4, 5 вершинами. Сформулировать теорему Кэли о числе помеченных деревьев.
11. Остов графа. Доказать теорему о необходимом и достаточном условии существования остова. Сформулировать и проиллюстрировать теорему Кирхгофа о числе остовов графа. Остовное дерево графа минимального веса. Алгоритмы Краскала и Прима* отыскания остовного дерева минимального веса. Примеры.
12*. Теорема об остове (доказать). Фундаментальная система циклов. Цикломатическое число графа. Следствия.
13. Отыскание кратчайшего пути в графе между его вершинами. Алгоритм Дейкстры.
14. Эйлеровы и полуэйлеровы графы. Сформулировать теорему Эйлера и следствие о необходимых и достаточных условиях существования эйлеровых и полуэйлеровых графов. Сформулировать теорему Рейда об оценке числа эйлеровых циклов. Сформулировать алгоритм Флёри построения эйлерова цикла и привести пример применения алгоритма.
15. Гамильтоновы и полугамильтоновы графы. Задачи, приводящие к нахождению гамильтоновых циклов, задача коммивояжёра, задача Гамильтона. Сформулировать и проиллюстрировать теоремы о достаточных условиях существования гамильтоновых путей и циклов: теорема Кёнига, теорема Дирака, теорема Оре. Сформулировать теорему Перепелицы об оценке числа гамильтоновых циклов.
16. Методы решения задачи коммивояжера: полное описание алгоритма Литтла метода ветвей и границ, метод Монте –Карло.
17*. Укладки графов. Реализация графа в R3 . Доказать теоремы об укладке в R3 и на сфере. Плоские и планарные графы. Грани графа. Доказать теорему Эйлера о планарных графах. Доказать следствия из теоремы Эйлера о планарных графах. Доказать непланарность графов K3,3 и K5 . Необходимое и достаточное условие планарности (Теорема Понтрягина- Куратовского с доказательством достаточности условия).
18* Раскрашивание графов. Хроматическое число графа. Привести примеры p-хроматических графов (p:=1,2,3,4). Бихроматический граф. Сформулировать теорему Кёнига о бихроматических графах. Алгоритм последовательной раскраски.
19* Раскраска карт. Теорема Хивуда о пяти красках. Гипотеза о четырех красках.
Примечание. Вопросы, помеченные * исключаются. Доказательство теорем, помеченных * не требуется.