СТЕПАНОВ В.Н. РТФ-3. Декабрь 2005 - 2011г.
ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики.
Вопросы к экзамену по спецкурсу «Дискретная математика».
Элементы (наивной) теории множеств.
Понятие множества и подмножества. Операции принадлежности и включения. Собственное подмножество. Равенство множеств. Пустое множество. Универсальное множество. Булеан. Примеры.
Способы задания множеств. Примеры.
Операции над множествами: включение, равенство, объединение, пересечение, разность множеств, дополнение множества, симметрическая разность множеств. Диаграмма Эйлера-Венна. Свойства операций над множествами. Приёмы доказательств равенств с множествами.
Кортежи. Примеры кортежей. Длина кортежа. Равенство кортежей.
Прямое произведение множеств. Степень множества. Примеры.
Отношения. Определение отношения из множества A в множество B. Отношение на множестве A. Область определения, область значений отношения. Образ и прообраз элемента при отношении P. Образ и прообраз множества при отношении P. Полное, тождественное, пустое отношения. Примеры.
Операции над отношениями: обратное отношение, композиция отношений. Доказать теорему о свойствах обратного отношения и композиции отношений. Степень отношения, пересечение отношений, объединение отношений, разность отношений, дополнение отношения, включение отношений. Примеры.
Функции. Определение функции (отображения). Примеры отношений, являющихся и не являющихся функциями. Частичная и тотальная функция. Инъективные, сюръективные, биективные функции. Примеры таких функций. Обратная функция. n-местная функция.
Матрицы бинарных отношений. Матрица объединения отношений, матрица пересечения отношений, матрица композиции отношений, матрица обратного отношения, свойство матриц при включении отношений. Матрица полного, тождественного и пустого отношения. Примеры.
Специальные типы бинарных отношений: рефлексивное отношение, антирефлексивное отношение, симметричное отношение, антисимметричное отношение, транзитивное отношение. Определения и свойства этих отношений. Матрицы и графы перечисленных отношений. Примеры перечисленных отношений.
Разбиение множества на классы. Примеры разбиений. О возможности разбиения множества на классы. Определение отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактор-множество по отношению эквивалентности. Отношение сравнения по mod p, классы вычетов по mod p. Другие примеры отношений эквивалентности и фактор - множеств.
Отношение порядка. Отношение нестрогого порядка. Отношение строгого порядка. Лексикографический порядок на множестве «слов». Примеры отношений строгого и нестрогого порядка.
Эквивалентные множества. Эквивалентность множеств как отношение эквивалентности (доказать). Мощность множества. Конечные, счетные и несчетные (континуальные) множества. Примеры.
Счетные множества. Доказать основные свойства счетных множеств. Примеры счетных множеств.
Множества мощности континуума. Доказать теорему Кантора о несчетности множества бесконечных последовательностей нулей и единиц. Доказать несчетность отрезка [0,1]. Доказать эквивалентность отрезка и квадрата.
Сформулировать теорему Кантора – Бернштейна и привести свои примеры ее применения. Сформулировать теорему Кантора о мощности множества всех его подмножеств.