- •Основные понятия и определения теории вероятностей. Классическое определение вероятростей.
- •Статистическая вероятность
- •Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.
- •Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.
- •Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •Дискретные случайные величины.
- •Дискретные случайные величины.
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •Непрерывные случайные величины.
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •Биномиальный закон распределения.
- •Нормальный закон распределения
- •Двумерные случайные величины.Интегральная и дифференциальная функции распределения вероятностей.Одномерные законы распределения.
- •Дискретные случайные величины.
- •Интегральная функция распределения двумерной случайной величины.
- •Вероятность попадания случайной величины в квадрат бесконечных полусумм прямоугольников.
- •Зависимые и независимые случайные величины.
- •Основные понятия математичесКой статистиКи
- •Доверительные интервалы. Доверительная вероятность.
- •Доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном .
- •Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном .
- •Статистические гипотезы. Проверка гипотез. Критерий Пирсона.
- •Элементы корреляционного анализа.
- •Линейное програмирование Задачи линейного программирования лесной промышленности.
- •Нормальная кононическая форма задач линейного программирования
- •Геометрический метод решения задач линейного программирования.
- •Симплекс метод
- •Первый этап: построение первоначального базисного плана.
- •Второй этап: проверка (критерий) оптимальности.
- •Третий этап: указание процедуры целенаправленного перехода к следующей крайней точке.
- •Симплекс таблица
- •Метод искусственного базиса в м задачах
- •Транспортная задача.
- •Основные понятия теории массового обслуживания Потоки событий
- •Пуассоновский и простейший потоки. Потоки Пальма и Эрвина.
- •Предельная теорема теории потоков
- •Сложение, разряжение и независимость потоков
- •Марковские процессы
- •Уравнения Колмогорова для вероятностей состояния
- •Эргодические Марковские случайные процессы. Стационарный режим работы системы.
Доверительные интервалы. Доверительная вероятность.
На практике часто требуется не только найти оценку параметра, но и оценить ее точность и надежность. Эта задача особенно актуальна при малом числе испытаний, когда замена параметра a его оценкой может привести к большим ошибкам. В математической статистике для определении точности и надежности оценки используют доверительные интервал и вероятность.
Пусть несмещенная оценка параметра a. Требуется оценить возможную ошибку. Пусть P – достаточно большая (близкая к 1) вероятность такая, что событие с вероятностью P можно считать практически достоверным ( .
Данная вероятность – доверительная вероятность.
Найдем такое что . Тогда возможные ошибки будут находиться в диапазоне . А ошибки по абсолютной величине большие будут встречаться крайне редко с вероятностью 1-P. Последнее неравенство запишем в развернутом виде: . Это равенство означает, что с вероятностью P истинное значение параметра находится в интервале (доверительный интервал).
17.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном .
Пусть количественный признак X распределен по нормальному закону распределения, причем заранее известно . Нам требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней . Другими словами построить доверительный интервал для математического ожидания. Будем рассматривать оценки как значения случайной величины. будет изменяться от выборки к выборке. Доказано что математическое ожидание равно: . А , где n – объем выборки. Поскольку X имеет нормальное распределение то вероятность отклонения , где . И пусть задана доверительная вероятность . Из соотношения мы получаем что . По таблице значений функции Лапласа мы находим . И тогда из соотношения мы находим, что и искомый доверительный интервал будет:
Замечания:
из формулы для оценки точности следует, что с увеличением n число убывает и, следовательно, точность оценки возрастает;
если требуется оценить математическое ожидание с напередзаданной точностью и надежностью, то минимальный объем выборки: .
18.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном .
Пусть случайная величина распределена по нормальному закону распределения. Нам нужно найти доверительный интервал с надежностью j для математического ожидания. Извлекаем выборку объема n. По этой выборке находим оценку математического ожидания и оценку среднеквадратического отклонения (несмещенного) . Тогда доверительный интервал имеет следующий вид:
где находится из соотношения по таблицам распределения Стьюдента. Здесь таблицы заданы по двум параметрам. В таблицу входит кроме j еще и n-число степеней свободы.
Замечание: из предельных соотношений показывается, что если то распределение Стьюдента стремиться к нормальному распределению. Поэтому когда n>30 то вместо распределения Стьюдента пользуются нормальным распределением, однако когда n<30, то замена распределения Стьюдента нормальным распределением может привести к значительным ошибкам.
19.
Схема применения критерия
Пусть у нас имеется гипотеза о том, что закон распределения нормальный.
делаем выборку из генеральной совокупности и по выборке составляем интервальный ряд, для чего находим интервальный ряд K;
по выборке находим оценки параметров ; записываем закон распределения (нормальный) с найденными оценками (в качестве параметров; по найденному закону распределения находим вероятности попадания в каждый интервал; вычисляем наблюдаемое
, где - частота попадания в I-ай интервал;
принимаем статистическое решение.
Гипотеза о том, что закон распределения нормальный не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости , если , где
(k – число степеней свободы, l – число параметров). Если же , то гипотеза отвергается. Для определения имеются специальные таблицы критических значений.